同値

命題論理において、あたえられた二つの命題が同値（どうち、equivalent）あるいは等価（とうか）であるとは、それらの真理値が互いに等しいことである。すなわち、一方が真ならば他方は必ず真であり、なおかつ一方が偽ならば他方も必ず偽であるとき、この二つの命題は同値であるという。

命題 P と命題 Q に対して、P⇒Q が真のとき、

P は Q であるための十分条件

Q は P であるための必要条件

であるという。P⇒Q の逆 Q⇒P もまた真のとき、Q は P であるための（または P は Q であるための）必要十分条件、または命題 P と Q は同値であるという。

ここで言っている「十分」や「必要」の意味だが、身近な使用例としては、

P 花子さんの数学の偏差値は65である。

Q 数学の偏差値60以上でA大学に入れる。

という2つの命題があるとき、花子さんの偏差値は65なのでA大学に入れることになるので P⇒Q という命題は真である。このとき、

花子さんの偏差値（P）は、A大学に入る条件（Q）を十分満たしている。

A大学に入る（Q）には、花子さんが入れるため（P）に最低限必要なランクである。

となる。

命題 P と命題 Q が同値であることを P ⇔ Q と記す。また、P であるとき、かつそのときに限り (if and only if) Q であると読むことがある。

なお数学で、ある集合の二つの元が同値関係にあるとき、それらは互いに「同値である」と言うことがあるが、それとは区別すべきものである。ただし、二つの命題が同値であるという "関係" は同値律を満たすので "命題の全体" における "同値関係" になっている。

[編集] 例

以下の命題 p, q, r を考える。

命題 p: x は 3 である。

命題 q: x - 3 = 0 が成立する。

命題 r: x は x² -5x + 6 の根である。

これらについて、次のことが確かめられる。

命題 p が真であるとき、命題 q, r ともに真である。
命題 p が偽であるとき、命題 q は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 p が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
命題 q が真であるとき、命題 p, r はともに真である。
命題 q が偽であるとき、命題 p は偽である。しかし x = 2 とすれば、命題 q が偽であるにも拘らず、命題 r は真となる。
命題 r が真であるとき、x = 2 または x = 3（x - 2 = 0 または x - 3 = 0）であるが、x = 2 のときには命題 p, q は偽である。
命題 r が偽であるとき、命題 p,q はともに偽である。

よって次のことが帰結される。