不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数 (incomplete gamma function) 或いは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数とはガンマ関数の一般化の一つ。ガンマ関数は定積分を用いて定義されているが、不完全ガンマ関数は不定積分を用いて定義される。

[編集] 定義

不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 $γ(a, x)$

$\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!$

第2種不完全ガンマ関数 $Γ(a, x)$

$\Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!$

ガンマ関数の定義は

$\Gamma(a) = \int_0^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!$

であるから、

$\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a) \,$

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

$\gamma(a+1,x) = a\gamma(a,x) - x^a e^{-x}\,$

$\Gamma(a+1,x) = a\Gamma(a,x) + x^a e^{-x}\,$

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

$\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\,$

$\gamma(a,x) \rightarrow \Gamma(a) \quad \mathrm{as\ } x \rightarrow \infty \,$

$\Gamma(0,x) = -\mbox{Ei}(-x)\mbox{ for }x>0 \,$

$\Gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erfc}\left(\sqrt x\right) \,$

$\gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erf}\left(\sqrt x\right) \,$

$\Gamma(1,x) = e^{-x} \,$

$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x} \,$

ここで、

erf : 誤差関数

erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x)

であるとする。

M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)