レナード-ジョーンズ・ポテンシャル

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レナード-ジョーンズ・ポテンシャル（Lennard-Jones potential）は、2原子間の相互作用力（原子間力）つまり、2つの原子の間に働く力のポテンシャル[注1]の経験的なモデル[注2]の一つである。類似のものとしては、モース・ポテンシャルがある。

1 レナード-ジョーンズ・ポテンシャルの数式による表記
2 U(r)の6乗の項の双極子モデルによる説明
3 U(r)の12乗の項の双極子モデルによる説明
4 レナードジョーンズポテンシャルの実験的導出
5 代表的な物質に対するεとσの値
6 脚注・参考文献
- 6.1 脚注
- 6.2 参考文献
7 関連項目

[編集] レナード-ジョーンズ・ポテンシャルの数式による表記

レナード-ジョーンズ・ポテンシャル[1]を " $U (r)$ "を数式で表すと式"(1)"のようになる[注3]。又、レナード-ジョーンズ・ポテンシャル" $U (r)$ "を距離微分、つまりrで微分すると原子間力の場のモデルを表す式、つまり原子間力の距離依存性のモデルを表す式" $F (r)$ "が"(2)"式のように導出される[注4]。

$U (r) = 4ε[(σ / r) 12 - (σ / r) 6]$ 　　(1)
$F (r) = - 4ε[( - 12)(σ / r) 13 + 6(σ / r) 7]$ 　　(2)

但し、 $r$ は原子間距離である。又、εとσは物質に依存した定数で、実験的にはフィッティングパラメータとして用いるものであるが、 (1)式をみるに、U(r)がきちんとエネルギーの次元を持つためには、 σが距離の次元を持ち、εがエネルギーの次元をもたねばならないことは明白である。又、(2)式を見るに、

$r 0 = 2 1 / 6 σ$ 　　(3)

とすると、 $F (r 0) = 0$ となる。つまり、この $r 0$ は、U(r)の平衡点である。さらに(2)式を距離微分すれば分かるよう、 $r 0$ は安定な平衡点である。さらに、当然のことだが、 $r 0$ において、 U(r)は極小であり、その付近でU(r)のグラフは上に凸である。このことから、 $r = r 0$ となる距離において、２原子は安定となることになる。そのため、この $r = r 0$ を平衡原子間距離と呼ぶ。実際、 $r 0$ は、物質の格子定数とよく一致する。さらに、εは、 $U (r 0)$ と一致している。そのため、 εは、結合を切るのに必要なエネルギーを表していて、その意味で結合エネルギーと呼ばれる。

[編集] U(r)の6乗の項の双極子モデルによる説明

双極子-双極子間の力が、ある条件では距離の6乗に反比例したポテンシャルを持つことから、6乗の項、つまり、 $6(σ / r) 6$ は、原子の分極に起因するものと解釈できる[1]。

[編集] U(r)の12乗の項の双極子モデルによる説明

(2)式の13乗部分つまり、 $( - 12)(σ / r) 13$ は、(1)式の12乗部分に由来するが、距離rが小さくなるにつれ爆発的に大きくなり、その方向は斥力方向であることが分かる。距離が小さく似なるにつれ爆発的に大きくなる斥力は、パウリの排他律による影響と考えるのが自然である。そのため、 (1)式の12乗の項は、パウリの排他律による影響と考えられている。

しかし、パウリの排他律による影響を第一原理計算のみから厳密に行えるか否かについては、不明である。

[編集] レナードジョーンズポテンシャルの実験的導出

[編集] 代表的な物質に対するεとσの値

[編集] 脚注・参考文献

[編集] 脚注

[注1]
[注2]
[注3]式(1)は厳密には(12,6)ポテンシャルと呼ばれる。(12,6)ポテンシャルは、レナード-ジョーンズポテンシャルの代表例である。
[注4]一般に、ポテンシャルの距離微分は力を表す。詳しくはポテンシャルの項を参照のこと。

[編集] 参考文献

[1]キッテル固体物理学入門第8版〈上〉 / Charles Kittel (原著), 宇野良清、他(翻訳), . -- 東京 : 丸善 , 2005.12 ISBN 4621076531

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