ノート:リー環
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定義の12番。「リー括弧積の交代性」⇒「[x,x]=0」は成立するが、逆は成り立たないと思う。朋 2006年2月24日 (金) 07:13 (UTC)
- 適当に省略しますが、交代性の定義を仮に [x, y] + [y, x] = 0 だと仮定します。[x, x] = 0 が成り立つとき、
- 0 = [x+y, x+y] = [x, x] + [x, y] + [y, x] + [y, y] = [x, y] + [y, x]
- なので交代的です。逆に [x, y] + [y, x] = 0 のとき x = y と置いて [x, x] = 0 を出すには標数が 2 であってはダメです。[x, x] = 0 のほうが強い条件なのでこちらを定義においておくほうが多いように思いますし、[x, x] = 0 を交代性とよび [x, y] + [y, x] = 0 を反対称性(あるいは歪対称性)と呼ぶこともあるようです(佐武一郎『リー環の話』:日本評論社 など)。--Lem 2006年2月24日 (金) 07:48 (UTC)