Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions パンルヴェ方程式 - Wikipedia

パンルヴェ方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

以下の 6つの方程式をパンルヴェ方程式という。

$P_{\rm I}:\frac{d^2y}{dx^2} = 6y^2+x$

$P_{\rm II}:\frac{d^2y}{dx^2} = 2y^3+xy+\alpha$

$P_{\rm III}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\left(\alpha y^2+\beta\right)+\gamma y^3+\frac{\delta}{y}$

$P_{\rm IV}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{3}{2}y^3+4xy^2+2\left(x^2-\alpha\right)+\frac{\beta}{y}$

$P_{\rm V}:\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{(y-1)^2}{x^2}\left(\alpha y+\frac{\beta}{y}\right)+c\frac{y}{x}+\delta\frac{y(y+1)}{y-1}$

$P_{\rm VI}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-x}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-x}\right)\frac{dy}{dx}$

$+\frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2}\left[\alpha+\beta\frac{x}{y^2}+\gamma\frac{x-1}{(y-1)^2}+\delta\frac{x(x-1)}{(y-x)^2}\right]$

※α、β、γ、δ は複素定数であり P_I　等は、方程式の名前である。

[編集] 定理

以下の定理はポール・パンルヴェによるものである。

R(a, b, c) を a の解析関数を係数とする、b と c の有理関数とする。

$\frac{d^2y}{dx^2} = R\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)$

が動く分岐点を持たないならば、線形方程式、楕円関数の方程式、その他求積可能な方程式、及び、パンルヴェ方程式の何れかに帰着できる。

"http://ja.wikipedia.org../../../%E3%83%91/%E3%83%B3/%E3%83%AB/%E3%83%91%E3%83%B3%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F.html" より作成

カテゴリ: 微分方程式

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