シェルピンスキー数

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シェルピンスキー数 (Sierpinski number) とは、全ての自然数nに対してk*2ⁿ+1が合成数（素数ではない2以上の整数）となるような正の奇数kのことである。

言い換えると、kがシェルピンスキー数ならば次の集合は全て合成数となる。

$\left\{\,k \times 2^n + 1 : n \in\mathbb{N}\,\right\}$

1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキ (Waclaw Sierpinski, 1882-1969) は、全てのnについてk*2ⁿ+1が決して素数とならない正の奇数kが無限にあることを証明した。

1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は78,557がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、78,557*2ⁿ+1 は常に合成数となる。

知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。

78557,271129,271577,322523,327739,482719,575041,603713,903983,934909,... （外部リンク：Sloane's A076336）

[編集] シェルピンスキーの問題

78,557がシェルピンスキー数であることは証明されているが、この数が最小のシェルピンスキー数であるかどうかはまだ分かっていない。最小のシェルピンスキー数を求める問題を、シェルピンスキーの問題という。

[編集] Seventeen or Bust

分散コンピューティングによるプロジェクト、 "Seventeen or Bust" では、シェルピンスキーの問題の解決を目的として、78,557より小さいシェルピンスキー数の候補に対して素数の検索を行っている。プロジェクト名の由来は、プロジェクトを開始した2002年 3月の時点で17個の候補があったためにこの名前が付いた。検索している全ての候補について素数が発見されたならば78,557が最小のシェルピンスキー数ということになる。

このプロジェクトにより、2005年 6月の時点で8個の素数が発見されている。 2004年 12月30日には、k = 28433の系列で、2,357,207桁の素数 28433 * 2^7830457 + 1 が発見された。発見時には、38番目のメルセンヌ素数である 2^6972593-1（2,098,960桁）を抜いて、知られている素数の中では 4番目に大きな素数として記録された。この時点で、素数となる数が見つかっていないkは、4847, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 33661, 55459, 67607 の10個となり、2005年6月には27653、10月に4847に素数となる数が見つかり残りは8となった。

[編集] リーゼル数

リーゼル数 (Riesel number) とは、シェルピンスキー数と似た定義の数であり、全ての自然数nに対して k*2ⁿ-1 が合成数となる正の奇数kである。現在知られている最小のリーゼル数は509,203である。この数が最小のリーゼル数かどうかは知られていない。

[編集] ブリエ数

ブリエ数 (Brier number) とは、シェルピンスキー数でもあり、リーゼル数でもある数である。つまり、全ての自然数nに対して k*2ⁿ+1 および k*2ⁿ-1 が合成数となる正の奇数kのことである。シェルピンスキー数、リーゼル数同様、最小のブリエ数は分かっていない。

知られているブリエ数は、

878503122374924101526292469,3872639446526560168555701047,623506356601958507977841221247,...と続く。(外部リンク：Sloane's A076335).

[編集] 外部リンク

[編集] 関連項目

数学上の未解決問題

"http://ja.wikipedia.org../../../%E3%82%B7/%E3%82%A7/%E3%83%AB/%E3%82%B7%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%94%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E6%95%B0.html" より作成

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