グラム・シュミットの正規直交化法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
グラム・シュミットの正規直交化法（グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、Gram-Schmidt orthonormalization）とは、内積を持つベクトル空間（計量ベクトル空間）に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系（それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組）を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化（ちょっこうか、orthgonalization）ともいう。ノルムを 1 にする工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。
[編集] 定義
計量ベクトル空間を V で表し、ベクトル v, w の内積を (v,w) と表すことにする。与えられたベクトルの線型独立系を {v0, v1, v2, ..., vn}とする。 まず、ベクトル v0 を選びだしてそのノルムで割る。すなわち、w0 = (v0, v0)-1/2v0 とする。以下、
によって順に新しいベクトルを作っていくと、{w0, w1, w2, ..., wn} は新しい線型独立系になる。構成から、正規であり、互いに直交していることは容易に分かる。
