Variabile casuale di Birnbaum-Saunders

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La variabile casuale di Birnbaum-Saunders è una variabile casuale continua definita per valori positivi, utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue).

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

$f(t|\alpha , \beta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{\sqrt{t/\beta} + \sqrt{\beta/t}}{2 \alpha t} e^{-\frac{(\sqrt{t/\beta} - \sqrt{\beta/t})^2}{2 \alpha^2}}$

Con la variabile casuale normale standardizzata valgono le seguenti relazioni

Se Z~N(0;1) e $T=\beta \left[ \frac{\alpha Z}{2} + \sqrt{\left(\frac{\alpha Z}{2}\right)^2+1}\, \right]^2$ allora T è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $α$ e $β$ .

Se T~BS(α , β) allora $Z=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{T}{\beta}}-\sqrt{\frac{\beta}{T}}\right)$ è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

$m_n = \beta \sum_{j=0}^n {2n \choose 2j} \sum_{i=0}^j {j \choose i} \frac{ (2(n-j+i))! }{ 2^{n-j+i}(n-j+i)! } \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2(n-j+i)}$

percui valore atteso, e la mediana sono

$\mu=\frac{1}{2}\beta ( \alpha^2+2)$

mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

$\sigma^2=\frac{1}{4}\beta^2 ( 5 \alpha^4+4\alpha^2)$

$cv=\frac{( 5 \alpha^4+4\alpha^2)^{1/2}}{\alpha^2+2}$

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

$\frac{44\alpha^3+24\alpha}{(5 \alpha^2+4)^{3/2}}$

$3+\frac{558 \alpha^4 + 240 \alpha^2}{(5 \alpha^2+4)^2}$

dall'assenza di β da quest'ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora