Variabile casuale bernoulliana
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La variabile casuale bernoulliana, dal nome dello scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705), è la più semplice di tutte le variabili casuali. E' una variabile dicotomica, dunque con due sole possibili realizzazioni (0 e 1), cui sono associate le rispettive probabilità p e 1-p.
A volte il termine variabile casuale bernoulliana è usato riferendosi alle variabili casuali binomiali.
[modifica] La distribuzione di Bernoulli
La distribuzione di Bernoulli è la distribuzione di probabilità discreta associata ad una variabile casuale bernoulliana, che assume valore 1 con probabilità di successo e valore 0 con probabilità di insuccesso . Sia quindi X una variabile casuale bernoulliana, si ha che:
La funzione di probabilità f di questa distribuzione è:
Il valore atteso di una variabile casuale di Bernoulli X è:
- ,
mentre la sua varianza è:
L'indice di skewness e la curtosi sono rispettivamente:
- ;
- .
La curtosi tende ad infinito per valori molto bassi o alti di p, ma per la distribuzione di Bernoulli presenta il valore della curtosi più basso di qualsiasi altra distribuzione: -2.
La funzione generatrice dei momenti è:
[modifica] Distribuzioni collegate
Se sono variabili casuali Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite con probabilità di successo pari a p, allora allora X = X1 + X2 +...+ Xn, è una variabile casuale binomiale B(n;p).