Traslazione nel piano complesso

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Indice

1 Definizione
2 Proprietà
3 Esempi
- 3.1 Esempio 1
- 3.2 Esempio 2
4 Casi particolari
5 Composizione di traslazioni
6 Voci correlate

[modifica] Definizione

Siano dati il numero complesso $\, v=p+iq \,$ e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto $\, Q(v)=Q(p,q) \,$ .

Per traslazione di vettore $\vec{v}=(p,q)$ si intende la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $z' = z + v$ .

[modifica] Proprietà

Dalla definizione si deduce che se il punto $\,P(z)\,$ , di coordinate $\, (x,y) \,$ , rappresenta $z$ , allora la sua immagine sarà il punto $P'(z')$ di coordinate $\,(x',y')\,$ , con $\,(x', y')=(x+p, y+q)\,$ , che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore $\vec{v}=(p,q)$ ,

$\tau_{\vec{v}}: \left \{ \begin{matrix} x' = x+p \\ y' = y+q \end{matrix} \right.$ .

Quindi:

sommare a un numero complesso $\,z = x+iy\,$ il numero complesso $\,v = p +iq\,$ equivale ad applicare una traslazione di vettore $\,(p , q)\,$ al punto $\,P\,$ di coordinate $\,(x , y)\,$ .

[modifica] Esempi

[modifica] Esempio 1

La trasformazione

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3+i\end{matrix}$

è la traslazione $\,\tau_{\vec{v}}\,$ di vettore $\,\vec{v}=(-3,1)\,$ .

[modifica] Esempio 2

Per determinare la scrittura complessa della traslazione $τ$ che porta il punto $P (1 + i)$ in $P'( - 2 - i)$ è sufficiente osservare che $P (1 + i)$ è il punto associato al numero complesso $z = 1 + i$ , e che $P'( - 2 - i)$ è il punto associato al numero complesso $z' = - 2 - i$ . Poiché sommare ad un numero complesso $z = x + i y$ il numero complesso $v = p + i q$ equivale applicare una traslazione di vettore $\vec{v}=(p,q)$ al punto $P (z)$ di coordinate $(x, y)$ , si ha che:

$-2-i \,=\, 1+i+p+iq$

da cui si ottiene che $\, p+iq=-3-2i \,$ .

Quindi

$\left \{ \begin{matrix} p =-3 \\ q =- 2\end{matrix} \right.$

La traslazione richiesta è:

$\begin{matrix}\tau_{\vec v}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z&-3-2i\end{matrix}$

[modifica] Casi particolari

Si consideri il caso in cui $\vec{v}=(p,0)$ . La traslazione di vettore $\vec{v}=(p,0)$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{(p,0)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $\,z' = z+v=(x+p)+iy\,$ .

È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ovvero modifica solo la parte reale di $z$ , mentre lascia invariata la parte immaginaria.

In modo analogo se $\vec{v}=(0,q)$ . La traslazione di vettore $\vec{v}=(0,q)$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}\tau_{(0,q)}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&=z+v\end{matrix}$

che associa al numero complesso $z$ il numero complesso $\,z' = z+v=x+i(y+q)\,$ .

È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ovvero che modifica solo la parte immaginaria di $z$ , mentre lascia invariata la parte reale.

[modifica] Composizione di traslazioni

Date due traslazioni di vettori $\vec{v}=(p,q)$ e $\vec{u}=(r,s)$ , la trasformazione composta

$\tau=\tau_{\vec u}\circ\tau_{\vec v}$

è una traslazione di vettore $\vec{w}=\vec{v}+ \vec{u}$ .

Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: $\tau=\tau_{\vec u}\circ\tau_{\vec v}=\tau_{\vec v}\circ\tau_{\vec u}$ , poiché è commutativa la somma di vettori $\vec{w}=\vec{v}+ \vec{u}= \vec{u}+ \vec{v}$ .

In particolare una qualsiasi traslazione $\tau_{\vec v}$ di vettore $\vec{v}=(p,q)$ è data dalla composizone delle traslazioni $\,\tau_{(p,0)}\,$ e $\,\tau_{(0,q)}\,$ . Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che $\,(p,q)=(p,0)+(0,q)\,$ .