Trasferimento biellittico bitangente

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In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il Trasferimento biellittico bitangente è una Manovra orbitale a 3 impulsi, che sfrutta due ellissi di trasferimento per passare da un'orbita circolare iniziale di raggio $r_i\,\!$ ad un'orbita circolare finale di raggio $r_f\,\!$ , servendosi di una circonferenza di supporto, solitamente di raggio molto maggiore. Sebbene il tempo di trasferimento dall'orbita di raggio $r_i\,\!$ all'orbita di raggio $r_f\,\!$ sia maggiore rispetto ad un Trasferimento alla Hohmann, risulta più conveniente in termini di Delta-v se il rapporto tra $r_f\,\!$ ed $r_i\,\!$ è maggiore di 12.

Indice

1 Caratteristiche
2 Calcolo del trasferimento
3 Tempo di volo
4 Vantaggi rispetto al Trasferimento alla Hohmann

[modifica] Caratteristiche

La Manovra biellittica bitangente è una manovra biellittica in quanto il trasferimento si effettua attraverso due semiellissi: la prima semiellisse di semiasse maggiore $a_1\,\!$ collega la circonferenza di raggio $r_i\,\!$ alla circonferenza di supporto di raggio $r_{supp}\,\!$ , mentre la seconda semiellisse di semiasse maggiore $a_2\,\!$ collega la circonferenza di supporto all'orbita circolare finale $r_f\,\!$ ;
La Manovra viene chiamata bitangente in quanto ogni ellisse di trasferimento è tangente a due circonferenze: la prima ellisse è tangente alla circolare iniziale e alla circolare di supporto, mentre la seconda ellisse è tangente a quest'ultima ed alla circolare finale:
Le coniche sono tutte cofocali nel pianeta attrattore e coplanari, anche se uno dei vantaggi di questo tipo di trasferimento è la possibilità di fare un cambio di piano orbitale nell'apocentro della prima ellisse; in questo modo si riduce il Delta-v necessario al cambio di piano, che dipende dalla distanza dal corpo centrale.

[modifica] Calcolo del trasferimento

Utilizzando l'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica

$v^2 = \mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$

dove

$v\,\!$ è il modulo della velocità nel punto considerato;
$\mu\$ è la Costante gravitazionale planetaria dell'attrattore;
$r\,\!$ è il modulo della distanza dall'attrattore;
$a\,\!$ è il semiasse maggiore della conica;

è possibile determinare le varie velocità nei punti di manovra; i Delta-v saranno le differenze di velocità che nei 3 istanti considerati dovranno essere impressi dalla sonda per il cambio di orbita.

Il primo $Δ v$ è fornito per passare dall'orbita di raggio $r_i\,\!$ all'orbita ellittica di semiasse $a_1\,\!$ :

$\Delta v_A = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_1}} - \sqrt{\frac{\mu}{r_i}}$

Il secondo $Δ v$ è fornito per passare dalla prima ellisse di trasferimento alla seconda ellisse di trasferimento, di semiasse $a_2\,\!$ . Si noti che nel punto di applicazione di questo secondo Delta-v la distanza dall'attrattore è pari a $r_{supp}\,\!$ , molto maggiore dei raggi finale e iniziale. Questo punto è l'apocentro della prima orbita di trasferimento.

$\Delta v_B = \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_2}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_1}}$

Il terzo $Δ v$ è fornito per circolarizzare l'orbita sulla circonferenza finale di raggio $r_f\,\!$ . La variazione impulsiva di velocità è applicata nel pericentro della seconda ellisse di trasferimento.

$\Delta v_C = \sqrt{\frac{\mu}{r_f}} - \sqrt{ \frac{2 \mu}{r_{supp}} - \frac{\mu}{a_2}}$

Si ricorda che i due semiassi delle ellissi valgono

$a_1 = \frac{r_i+r_{supp}}{2}$

$a_2 = \frac{r_f+r_{supp}}{2}$

Il costo totale della manovra risulta $\|\Delta v_{tot}\|\ = \|\Delta v_A\|\ + \|\Delta v_B\|\ + \|\Delta v_C\|\$

[modifica] Tempo di volo

Uno svantaggio è sicuramente il tempo di volo, che risulta molto maggiore di un trasferimento diretto tra $r_i\,\!$ ed $r_f\,\!$ utilizzando un Trasferimento alla Hohmann. Infatti il tempo di trasferimento con una manovra biellittica bitangente vale

$t_{tr} = \pi\sqrt{a_1^3/\mu} + \pi\sqrt{a_2^3/\mu}$

mentre nel caso alla Hohmann risulterebbe

$t_{H} = \pi\sqrt{a^3/\mu}$

con

$a = \frac{r_i+r_f}{2}$

[modifica] Vantaggi rispetto al Trasferimento alla Hohmann

Un primo vantaggio è il minore Delta-v necessario se il parametro

$b = \frac{r_f}{r_i}>12$ .

Il valore in questione è ottenuto normalizzando i vari $Δ v$ rispetto alla velocità sulla prima circolare ed eguagliando i $Δ v$ totali nei due casi di trasferimento.

Un ulteriore vantaggio è la convenienza a effettuare i dispendiosi Cambi di piano orbitale lontano dall'attrattore, ad esempio al secondo impulso della manovra.

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Categoria: Orbite