Topologia del sottoinsieme
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In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia del sottoinsieme o più genericamente topologia indotta.
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[modifica] Definizione
Se Y è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, la topologia indotta su Y è la seguente: un insieme U di Y è aperto se e solo se esiste un aperto V di X tale che V ∩ Y = U. In altre parole, gli aperti di Y sono le intersezioni degli aperti di X con Y.
Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta.
Alternativamente, si può definire la topologia su Y in uno dei modi seguenti:
- La topologia su Y è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione i:Y → X continua.
- La topologia su Y è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico Z una mappa f:Z → Y è continua se e solo se lo è la sua composizione i o f:Z → X con l'inclusione i:Y → X.
[modifica] Esempi
- I numeri interi Z vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R. Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.
- Anche i numeri razionali Q vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali R, ma questa non è discreta.
- Consideriamo l'intervallo I = [0, 1] con la topologia indotta da R. Il sottoinsieme (0, 1] è aperto in I ma non in R.
[modifica] Proprietà
- Intersecando tutti gli aperti di una base di X con Y si ottiene una base per Y.
- Se X è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad Y induce la topologia del sottoinsieme.
- Se X è compatto e Y è chiuso allora Y è anch'esso compatto.
- Se X è di Hausdorff allora anche Y lo è.
- Gli insiemi chiusi di Y sono le intersezioni di Y con gli insiemi chiusi di X.
[modifica] Voci correlate
Topologia generale · Spazio topologico · Base · Separazione · Compattezza · Connessione · Spazio metrico · Prodotto · Sottospazio · Quoziente Topologia algebrica · Gruppo fondamentale · Omotopia · Omologia · Spazio semplicemente connesso · Rivestimento · Van Kampen |