Test di verifica d'ipotesi

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Il test di verifica d'ipotesi si utilizza per verificare la bontà di un'ipotesi.

Per ipotesi è da intendersi un'affermazione che ha come oggetto accadimenti nel mondo reale, che si presta ad essere confermata o smentita dai dati osservazionali.

Il metodo con cui si valuta l'attendibilità di un'ipotesi è il metodo sperimentale. Quest'ultimo consiste nel dedurre le conseguenze di un'ipotesi in termini di entità osservabili, e di valutare se la realtà effettivamente osservata si accorda con la deduzione. A tal riguardo si distinguono due ambiti in cui tale attività si esplica

deterministico
statistico

Nell'ambito statistico, a seconda delle ipotesi si distingue tra

[modifica] L'ambito deterministico

Nel primo caso si è in grado di pervenire a conclusioni certe. Ad esempio volendo provare se in un circuito elettrico passa corrente si inserirà una lampadina o un amperometro e si constaterà l'accensione o l'attivazione dello strumento. In tal caso si perviene con certezza alla conclusione. Se la lampadina si accende allora passa corrente in caso contrario il circuito non è predisposto correttamente.

In questo ambito, se nel circuito passa corrente ogni volta che si inserisce una lampadina questa si accende. In caso contrario il ripetuto inserimento della lampadina darà sempre esito negativo.

[modifica] L'ambito statistico

Nel secondo caso la situazione è modificata in quanto interviene un elemento nuovo, ovvero il caso. Si supponga di avere una moneta recante due facce contrassegnate con testa e croce. Volendo verificare l'ipotesi di bilanciamento della moneta si eseguono 20 lanci e si contano quelli che danno esito testa. La conseguenza del bilanciamento consiste nell'osservare un valore di teste attorno a 10. Tuttavia anche in ipotesi di bilanciamento non si può escludere di osservare 20 teste. Il fatto è che l'ipotesi di bilanciamento è logicamente compatibile con un numero di teste variante da 0 a 20. Siamo quindi nel caso di ipotesi statistiche. In tale contesto una qualsiasi decisione in merito all'ipotesi da verificare comporta un rischio di errore. Ad esempio rigettare l'ipotesi avendo osservato 20 teste, pur in accordo con il buon senso, comporta il rischio di prendere una decisione errata in quanto è sempre possibile ottenere 20 teste da una moneta bilanciata. Nel procedere alla verifica di tale ipotesi si opera come nel caso deterministico, ovvero si cerca di individuare una conseguenza del bilanciamento. A differenza del caso del circuito, la conseguenza del bilanciamento si traduce in una variabile casuale piuttosto che di un evento singolo (accensione della lampadina). Tale variabile casuale X nel caso della moneta è una variabile con distribuzione binomiale B(½, 20).

Il risultato sperimentale si deve quindi confrontare con tale distribuzione: quanto è distante tale risultato dalla distribuzione? Per rispondere alla questione si deve individuare un valore caratteristico che sintetizza la distribuzione, nel nostro caso il valore atteso pari a 20·½=10. Se il risultato sperimentale è distante da 10 si rifiuta l'ipotesi. Per valutare la distanza tra il valore sperimentale e quello atteso si valuta la probabilità di ottenere un valore più estremo di quello osservato, ovvero nel caso che X=15 sia il numero di teste ottenuto, si calcola P{|X-10|>=15-10} quindi P{X<=5 oppure X>=15}=0,041.

In tal caso la probabilità di ottenere una numero di teste più estremo di quello osservato, da una moneta bilanciata è 0,041. Giudicando bassa tale probabilità si rifiuterà l'ipotesi ritenendola poco compatibile con il dato osservato. In pratica i livelli di probabilità adottati sono 0,05 0,01 e 0,001, generalmente indicati α e detti livelli di significatività. Essi determinano la regione di rifiuto per l'ipotesi nulla. Il minimo livello di significatività α del test per il quale si rifiuterebbe l'ipotesi nulla è detto valore-p (p-value). Adottando nell'esempio α = 0,05, si rifiuterà l'ipotesi se P{|X-10|>=x}<0,05. Tale condizione si raggiunge appunto se X<6 oppure X>14. Tale insieme di valori si definisce convenzionalmente come regione di rifiuto. Viceversa l'insieme { 6,7…14} si definisce regione di accettazione. In questo modo si è costruita una regola di comportamento per verificare l'ipotesi di bilanciamento della moneta. Tale regola definisce il test statistico.

In termini tecnici l'ipotesi da verificare si chiama ipotesi nulla e si indica con H₀, mentre l'ipotesi alternativa con H₁. Nel caso della moneta, se p è la probabilità di ottenere testa in un lancio la verifica di ipotesi si traduce nel seguente sistema:

$H_0: p = \frac{1}{2}$

$H_1: p \ne \frac{1}{2}$

Come già osservato, il modo di condurre un test statistico comporta un rischio di errore. Nella pratica statistica si individuano due tipi di errori

rifiutare H₀ quando è vera, errore di primo tipo
accettare H₀ quando è falsa, errore di secondo tipo

Tornando all'esempio della moneta in cui la regione di accettazione è data dall'insieme di valori {6..14}, la probabilità di rifiutare H₀ quando è vera è stato calcolato pari a 0,041.Tale probabilità rappresenta il rischio di incorrere in un errore di primo tipo e si indica con α. Per valutare la probabilità di un errore di secondo tipo è necessario specificare un valore di p in caso di verità di H₁. Si supponga che p=0,80, in tal caso la distribuzione di X è una B(0,80, 20)

Con tale distribuzione di probabilità, l'errore di tipo 2. si calcola sommando le probabilità relative ai valori di X della zona di accettazione. Si trova quindi che la probabilità cercata è pari a circa 0,20. Tale probabilità quantifica il rischio di incorrere nell'errore di tipo 2. e si indica convenzionalmente con β. La quantità 1-β si chiama potenza del test ed esprime quindi la capacità di un test statistico riconoscere la falsità di H₀ quando questa è effettivamente falsa. La potenza del test trova applicazione nella pratica statistica in fase di pianificazione di un esperimento.