Teoria del primo ordine
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Nella logica matematica una teoria del primo ordine è una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.
Indice |
[modifica] Definizione
Gli elementi che definiscono una teoria del primo ordine sono:
- un alfabeto, ovvero un insieme finito di simboli,
- un linguaggio del primo ordine costituito da un insieme di formule ben formate che rappresentano enunciati di senso compiuto,
- un insieme di assiomi logici, cioè un insieme di formule che esprimono le relazioni logiche relative ai connettivi logici e ai quantificatori,
- un insieme di assiomi propri che stabiliscono alcune relazioni fondamentali tra gli oggetti della teoria non deducibili dagli assiomi logici (come l'assioma "per due punti passa una e una sola retta"),
- un insieme di regole di inferenza che stabiliscono quando una formula è una conseguenza logica di un'altra
Esempi di teorie del primo ordine sono l'aritmetica di Peano e l'aritmetica di Robinson.
[modifica] Dimostrazioni formali
Una dimostrazione di una formula in una teoria del primo ordine T è una sequenza ordinata di formule
tale che
- ogni formula o è un assioma di T o è deducibile da una o più formule ad essa precedenti mediante una regola di inferenza.
Una formula che ha una dimostrazione formale in T si dice dimostrabile o derivabile. Se la formula è dimostrabile in T si usa la notazione
o semplicemente
se la teoria di riferimento è evidente dal contesto.
[modifica] Proprietà sintattiche
Una teoria del primo ordine T si dice:
- sintatticamente completa se per ogni formula si ha
- oppure
- sintatticamente consistente se non esiste nessuna formula per cui si ha
- e contemporaneamente