Teorema di Weierstrass
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Teorema: Teorema di Weierstrass
Sia ![f:[a,b] \to \R \!](../../../math/1/1/9/119669a0a2241f66a809f34ce1d850f9.png)
una funzione continua; allora 
assume massimo e minimo in ![[a,b] \!](../../../math/5/2/d/52d4fce11e59f0395730bb90f9b239cc.png)
, cioè esistono ![x_1,\,x_2 \in [a,b] \!](../../../math/8/e/c/8ecf03614ec3b104db14df271e23a501.png)
tali che:
![\forall x \in [a,b] \quad:\quad f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) \!](../../../math/7/1/8/718fd41d9249e191c3d32b26b4de6bc0.png)
Dimostrazione con la nozione di compattezza
- Poiché
è una funzione continua, essa trasforma insiemi compatti in insiemi compatti. - Dato che è un compatto, anche la sua immagine mediante sarà un compatto.
- Di conseguenza, il codominio di ammetterà massimo e minimo.
Dimostrazione con successioni di punti
Poniamo ![\!s = \sup(f[a,b])](../../../math/4/a/2/4a22454983a82f9acc1d8a654db4cf97.png)
e individuiamo una successione ![\!y_n \in f[a,b]](../../../math/6/f/e/6feae49611954b74b37e7492ad8353b4.png)
tale che 
Scegliamo, inoltre, una successione ![\!t_n \in [a,b]](../../../math/f/3/1/f31cb3a2051c390dd0a43374f6056d7a.png)
tale che 
Per il teorema di Bolzano - Weierstrass 
ha una sottosuccessione 
che converge verso ![x_2 \in [a,b]\!](../../../math/8/6/7/867939308a5447de56831e8b905ee2ab.png)
.
Per la continuità di abbiamo 
D'altra parte 
Quindi per l'unicità del limite abbiamo 
, cioè la funzione ha in 
un massimo assoluto.
Similmente si dimostra anche l'esistenza di un punto 
dove la funzione assume il valore minimo.
