Teorema di Dandelin
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Nella geometria, le coniche (l’ellisse, la parabola e l’iperbole) definite come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve “solide”. Le definizioni più usate sono comunque quelle della geometria piana.
Il legame semplice e suggestivo tra teoria piana e teoria “solida” viene stabilito nel 1822 dal matematico franco-belga Germinal Pierre Dandelin.
A tal proposito ricordiamo le Sfere di Dandelin, che ci consentiranno di analizzare più nel dettaglio questo legame.
Indice |
[modifica] Sfere di Dandelin
Una sezione conica non degenere, figura ottenuta dalla intersezione di un piano con un cono, possiede una o due sfere di Dandelin caratterizzate dalla proprietà:
- Una sfera di Dandelin tocca senza intersecare sia il piano che il cono.
Ogni sezione conica ha associata una sfera di Dandelin a ciascuno dei suoi fuochi.
- Un’ellisse possiede due sfere di Dandelin, entrambe tangenti alla stessa falda del cono.
- Una iperbole ha due sfere di Dandelin che toccano le falde opposte del cono.
- Una parabola possiede una sola sfera di Dandelin.
 Costruzione dei fuochi dell'ellisse |
 Costruzione dei fuochi dell'iperbole |
 Costruzione del fuoco della parabola |
L’interesse per le sfere di Dandelin deriva dal fatto che è nota un’elegante dimostrazione del matematico belga Dandelin dell’equivalenza tra la definizione di conica data da Apollonio e la definizione di conica come luogo geometrico soddisfacente proprietà di carattere metrico. Non può sfuggire l’importanza della dimostrazione di questo teorema in quanto è possibile parlare delle coniche e studiarle rimanendo nel piano.
[modifica] Teorema di Dandelin sull'ellisse
Costruzione geometrica dei fuochi di una conica (considerata come sezione piana di un cono rotondo indefinito).
I fuochi dell’ellisse, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica.
Dimostrazione: Si consideri l’illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in un’ellisse e mostra le due sfere di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:
- P il punto in cui g taglia l’ellisse,
- P' il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O' tangente in F' al piano,
- P" il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O" tangente in F" al piano.
Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alle due sfere. I due segmenti PF' e PP' sono uguali perché segmenti di tangenti condotte da un punto esterno ad una stessa sfera. Analogamente, sarà anche PF"=PP". Sommando membro a membro le due uguaglianze trovate abbiamo la relazione:
Che costituisce, appunto, la definizione dell’ellisse considerata come luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Analogamente si può osservare che Dandelin non solo dimostrò l’equivalenza tra la teoria solida e la teoria piana dell’ellisse, ma anche dell’iperbole e della parabola. Analizziamo il caso della dimostrazione dei fuochi dell'iperbole:
[modifica] Teorema di Dandelin sull'iperbole
I fuochi dell’iperbole, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, sono i punti di contatto delle due sfere tangenti al piano e tangenti (internamente) alla superficie conica.
Dimostrazione: Si consideri l’illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in un’iperbole e mostra le due sfere di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:
- P il punto in cui g taglia l’iperbole,
- P' il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O' tangente in F' al piano,
- P" il punto in cui g taglia la circonferenza di contatto col cono della sfera di centro O" tangente in F" al piano.
Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alle due sfere. I due segmenti PF' e PP' sono uguali perché segmenti di tangenti condotte da un punto esterno ad una stessa sfera. Analogamente, sarà anche PF"=PP". Sottraendo membro a membro le due uguaglianze trovate abbiamo la relazione:
Che costituisce, appunto, la definizione dell’iperbole considerata come luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.
Analizziamo adesso il caso della dimostrazione del fuoco della parabola:
[modifica] Teorema di Dandelin sulla parabola
Il fuoco della parabola, ottenuta intersecando un cono rotondo con un piano, è il punto di contatto della sfera tangente al piano e tangente (internamente) alla superficie conica. La direttrice della parabola risulta l’intersezione del suddetto piano con quello in cui giace la circonferenza di contatto tra cono e sfera.
Dimostrazione: Si consideri l’illustrazione che raffigura un piano che interseca un cono in una parabola e mostra una sfera di Dandelin. Sia g una qualunque generatrice del cono e siano:
- P il punto in cui g taglia la parabola,
- P' il punto in cui g incontra la circonferenza di contatto tra il cono e la sfera,
- P" la proiezione di P sulla direttrice.
Dalla costruzione, risulta evidente che il punto P è esterno alla sfera. Quindi, per la nota proprietà delle tangenti ad una sfera condotte da un punto esterno, sarà:
Inoltre, i tre punti A, P' eP" sono allineati in quanto giacciono sull'intersezione del piano in cui giace la circonferenza di contatto tra il cono e la sfera con il piano determinato dalle due rette parallele AV e PP" (ambedue parallele all'asse della parabola). Dalla costruzione si osserva che i due triangoli sono simili e dato che il primo è isoscele, anche il secondo lo sarà. Avremo, pertanto:
La proprietà transita, applicata alle due uguaglianze trovate, ci permette di concludere che sarà:
relazione che costituisce, appunto, la definizione della parabola come luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice.
[modifica] Osservazioni
In conclusione, dall'analisi delle dimostrazioni del teorema di Dandelin sull'iperbole e sulla parabola, si può osservare che:
- la dimostrazione dei fuochi dell’iperbole è analoga a quella dell'ellisse, solo che invece di sommare le uguaglianze trovate, bisogna andarle a sottrarre ottenendo così la definizione classica di iperbole;
- la dimostrazione del fuoco della parabola invece necessita di qualche osservazione in più sulla figura per ottenere la definizione classica di parabola.
