Teorema di Binet
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Il teorema di Binet è un teorema di algebra lineare che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.
[modifica] Il teorema
Siano A e B due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo K. Il teorema di Binet asserisce che:
[modifica] Applicazioni
- Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
- se A è invertibile allora esiste B tale che AB = I, e quindi det(A) * det(B) = det(I) = 1, e quindi det(A) non è zero.
- se det(A) non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
- Se A è invertibile, allora
- Il determinante è invariante per similitudine: infatti
- Il determinante di un endomorfismo f: V → V (dove V è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base B, in realtà non dipende dalla scelta di B: è quindi una grandezza intrinseca di f, che indichiamo con det(f).
- Il determinante di un'isometria f:V → V ha norma 1. Quindi se K = R il determinante di una isometria è 1 oppure -1.