Superellisse

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In matematica, in particolare in geometria piana, per superellisse si intende una figura geometrica che in un sistema di coordiante cartesiane viene descritto come il luogo dei punti (x,y) che soddisfano l'equazione

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$ ,

con n, a e b sono reali positivi. Nel caso n = 2 si ha l'ellisse ordinaria; è inoltre evidente che si tratta di insiemi di punti simmetrici per la riflessione rispetto agli assi Ox orizzontale e Oy verticale. Queste figure si possono ricondurre alle curve della famiglia indicizzata dal solo parametro n ottenibili fissando i valori a=b=1, cioè dalle figure che soddisfano l'equazione normale

$\left|x\right|^n\! + \left|y\right|^n\! = 1$ ;

una superellisse della forma generale si ottiene applicando alla canonica relativa allo stesso n le omotetie x → x/a e y → y/b.

Osservando le superellissi canoniche si vede che sono invarianti anche per le riflessioni rispetto alle rette per l'origine y = x e y = − x. Grazie all'invarianza per le riflessioni rispetto ai due assi, i punti di una superellissi si possono ripartire in 4 curve parziali, ciascuna appartenente ad un quadrante. Per studiare le superellissi dunque basta limitarsi al primo quadrante del piano cartesiano e considerare la curva data dalla funzione

$y \,=\, (1-x^n)^{1/n}$ .

Le figure della famiglia ottenute con n>2 sono dette iperellissi, quelle relative a n<2 sono chiamate ipoellissi. All'aumentare di n la curva canonica si avvicina sempre di più al rettangolo definito dai vertici opposti (1,1) e (-1,-1); al diminuire di n da 2 a 1 la curva da cerchio unitario si avvicina al quadrato definito dai vertici opposti (1,0) e (-1,0); al diminuire di n da 1 a 0 si hanno curve che si avvicinano alla croce furmata dei due segmenti di lunghezza 2 con estremità in (-1,0) e (1,0) e con estremità (0,1) e (0,-1).

[modifica] Bibliografia

Gardner, Martin: Piet Hein's Superellipse. - in Gardner, Martin: Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage, 1977, pp. 240-254.
Johan Gielis: Inventing the circle. The geometry of nature. - Antwerpen : Geniaal Press, 2003. - ISBN 9080775614