Somma di potenze di interi successivi
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Un problema enumerativo di grande interesse riguarda la valutazione delle somme delle potenze di interi successivi
dove m ed n denotano numeri interi positivi. Si osserva che la precedente espressione definisce una successione a due indici interi a valori interi positivi, cioè una funzione dell'insieme
- .
Si dimostra facilmente in vari modi che
Risulta abbastanza agevole anche trovare che
Queste due formule si dimostrano senza difficoltà per induzione.
Si osserva che la somma delle potenze m-esime dei primi n interi positivi è data da un polinomio di grado m+1 nella n a coefficienti razionali. In effetti Carl Jacobi nel 1834 ha dimostrato che questa proprietà vale per tutti gli interi positivi.
Si osserva anche che, soprattutto se n è elevato, la valutazione delle somme effettuata mediante il calcolo di questi polinomi è molto più agevole della valutazione effettuata servendosi direttamente della definizione.
È quindi utile conoscere le espressioni dei polinomi relativi ai successivi valori n degli esponenti.
Le espressioni per i successivi valori di n furono individuate da Johann Faulhaber e pubblicate nel 1631 e una espressione generale, conosciuta come formula di Faulhaber è stata dimostrata da Jacobi.
In questa e altre formule intervengono i numeri di Bernoulli ed i polinomi di Bernoulli .
La tavola delle espressioni polinomiali prosegue per n = 4, 5, ..., 10 nel seguente modo: