Quasigruppo
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In algebra astratta, un quasigruppo è una struttura algebrica "assomigliante" a un gruppo, formalmente: Un quasigruppo è un magma dove è sempre definita l'operazione di "divisione". I quasigruppi differiscono dai gruppi principalmente per il fatto che non sono necessariamente associativi.
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[modifica] Definizioni
Formalmente, un quasigruppo è un magma (Q, *), dove Q è un insieme, * una operazione binaria * : Q × Q → Q, tale che:
per ogni a, b in Q Esiste un unico elemento x e un unico elemento y in Q tale che:
- a * x = b
- y * a = b
Le uniche soluzioni di queste equazioni sono di sovente scritte come
- x = a \ b
- y = b / a.
Gli operatori \ e / sono denominati rispettivamente di divisione destra e divisione sinistra. Per semplicità assumeremo un quasigruppo non vuoto.
Un loop è un quasigruppo con un elemento unitario. Da qui segue che ogni elemento del loop ha un suo unico inverso sinistro e un suo unico inverso destro, che si dimostra essere coincidenti.
Un Loop di Moufang (da Ruth Moufang) è un quasigruppo (L, *) soddisfacente le condizioni:
- (a*b)*(c*a) = (a*(b*c))*a
- Per ogni a, b e c in L.
[modifica] Esempi
- Qualsiasi gruppo è un quasigruppo, in quanto a * x = b iff x = a.exp(−1) * b, e y * a = b iff y = b * a.exp(-1).
Poiché i gruppi sono associativi, sono anche Moufang loops.
- L'insieme Z degli interi con l'operatore di sottrazione (−) forma un quasigruppo.
- L'insieme dei numeri razionali nonzero, Q - {0} (o dei reali esteso R ∪ {∞} ) dotati dell'operazione di divisione (÷) formano un quasigruppo.
- L'insieme {±1, ±i, ±j, ±k} dove ii = jj = kk = +1 (e tutti gli altri prodotti come nei quaternioni) forma un quasigruppo o un loop o un quadrato latino.
- Ogni Spazio vettoriale forma un quasigruppo idempotente e commutativo rispetto alla l'operazione x * y = (x + y) / 2.
- Ogni triplo sistema di Steiner è un quasigruppo idempotente e commutativo.
- Un Insieme di ottonioni nonzero forma un Moufang loop rispetto alla moltiplicazione.
- Il sottoinsieme di ottonioni unitari (i.e quelli con norma 1) sono chiusi rispetto alla moltiplicazione e dunque generano una 7-sfera con struttura di un Moufang loop.
Più in generale:
- Un insieme di elementi privati dello zero
- Ogni algebra finito-dimensionale senza divisori per 0
formano un quasigruppo. [edit]
[modifica] Proprietà
[modifica] Proprietà di Cancellazione
- Da notare che un quasigruppo ha una proprietà di cancellazione:
Se a * b = a * c, allora b = c.
Questo perché x = b è certamente una soluzione dell'equazione a * b = a * x, e le soluzioni devono essere uniche.
- Similarmente, Se a * b = c * b, allora a = c.
[modifica] Quadrato Latino
La tavola pitagorica di un quasigruppo finito è un Quadrato latino: Un Quadrato Latino di ordine n è ogni matrice quadrata di aspetto n × n le cui entrate costituiscono un insieme di n elementi tale che ciascuno di essi compare esattamente una volta in ogni riga e una volta in ogni colonna della matrice. Inversamente, ogni Quadrato Latino può rappresentare la tavola pitagorica di un quasigruppo.
[modifica] Moufang Loops
- Facilmente si pensa che i Moufang loops sono dei loops, ma non è detto che essi abbiano un unico elemento identitario.
[modifica] Elemento unitario nei Moufang Loops
- Sia a un elemento di M, sia e un elemento tale che a * e = a.
- Dunque per ogni x in Q, segue:
- (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x),
- e dalla proprietà di cancellazione:
- x = e * x.
- Così e è un elemento identitario sinistro.
- Sia ora b un elemento tale che b * e = e.
- Allora per ogni y appartenente a M
- y * b = e * (y * b),
- dove e è un identitario sinistro,
- dunque
- (y * b) * e = (e * (y * b)) * e = (e * y) * (b * e) = (e * y) * e = y * e.
- e dalla proprietà di cancellazione:
- y * b = y,
- Così e è un identitario destro.
- Infine:
e = e * b = b,
- così e è un identitario, o elemento unitario.
[modifica] Quasigruppi e Loop associativi
- Ogni quasigruppo associativo può essere un Moufang loop. Un loop associativo può banalmente essere un gruppo.
- Questo in quanto i gruppi sono per la precisione dei quasigruppi associativi.
- La teoria strutturale dei loops è pressoché analoga a quella dei gruppi.
- Sebbene i Moufang loops non siano generamente associativi, soddisfano tuttavia una forma debole di associatività.
-
- Si può dimostrare che, definita una identità di Moufang (moltiplicazione denotata come giustapposizione)
-
-
- (ab)(ca) = (a(bc))a
-
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- È equivalente a ciascuna delle seguenti:
-
-
- a(b(ac)) = ((ab)a)c
- a(b(cb)) = ((ab)c)b
-
-
- Queste 3 equazioni sono denominate identità di Moufang. Ognuna di queste può servire a definire un Moufang loop.
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- Se assegno vari elementi a un'identitario e, si può dimostrare che queste relazioni implicano:
-
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- a(ab) = (aa)b
- (ab)b = a(bb)
- a(ba) = (ab)a
-
-
- Dunque tutti i Moufang loops sono alternativi.
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- Moufang ha dimostrato inoltre che il subloop generato da uno dei due elementi del Moufang loop è associativo (e dunque è un gruppo).
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- In particolare, i Moufang loops manifestano la associatività della potenza.
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- Quando si lavora con i Moufang loops, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Bibliografia
J.D.H. Smith and Anna B. Romanowska (1999) Post-Modern Algebra, Wiley-Interscience ISBN 0471127388.
