Punto isolato
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In topologia, un punto x0 appartenente ad un insieme S è detto punto isolato di S se esiste un intorno di x0 non contenente altri punti di S.
In particolare, in uno Spazio euclideo (o in uno spazio metrico), x0 è un punto isolato di S, se esiste una palla aperta intorno a x0 che non contiene nessun elemento di S diverso da x0.
In modo equivalente, un punto x0 di S non è un punto isolato se e solo se x0 è un punto di accumulazione per S.
Un insieme costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto, ad esempio, insieme finito. Un sottoinsieme discreto di uno spazio Euclideo è numerabile; comunque, un insieme può essere numerabile ma non discreto, ad esempio l'insieme 
dei numeri razionali.
Un insieme chiuso senza punti isolati è detto insieme perfetto.
[modifica] Esempi
Ogni elemento di 
è isolato in infatti: Sia 
e sia I(n0,r) un intorno di n0 e di raggio r.
Allora dalla definizione abbiamo che è un punto isolato in 
.
Poiché per 
risulta che 
, deduciamo che n0 è isolato.
Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.
- Per l'insieme
![S=\{0\}\cup [1, 2]](../../../math/7/a/2/7a2070f08d210dc1caa4407a1a6c7626.png)
, il punto 0 è un punto isolato.
- Per l'insieme
, ciascun punto 1/k è un punto isolato, tranne il punto 0 che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme S vicini a 0 quanto desiderato.
- L'insieme N={0, 1, 2, ...} dei numeri naturali è un insieme discreto.
