Principio di minima azione

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In generale si definisce azione in fisica l'integrale:

$A = \int_{t_1}^{t_2} \ \sum_{i=1}^{n} \ p_i \cdot \dot q_i \ dt$ .

Il principio di minima azione detto anche di Maupertuis dice che in un sistema in cui si conserva l'Hamiltoniana òa variazione dell'integrale:

$\Delta A = \Delta \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^{n} p_i \dot q_i \ dt = 0$

dove la variazione va intesa come compatibile ai vincoli del sistema, cioè deve essere una variazione reale del moto, tra due istanti successivi. Questa particolarità rende il principio di minima azione diverso sostanzialmente dal principio di Hamilton che invece prende in considerazione anche variazioni dello spostamento virtuali, cioè non necessariamente reali. In questo caso infatti non si parla di avere un moto in cui il tempo tra $t 1, t 2$ sia costante e le variazioni delle coordinate generalizzate si annullino, ma che l'Hamiltoniana sia costante e le variazioni delle coordinate generalizzate si annullino e ciò presuppone che i tempi agli estremi varino.

[modifica] Dimostrazione

L'ultima considerazione sopra implica che il tempo non è più costante e quindi la dimostrazione deve prendere in considerazione la variazione anche di t. Pensiamo allora ad un sistema descritto per mezzo delle coordinate generalizzate $q 1,..., q n$ che rappresentano un punto nello spazio delle configurazioni. La traiettoria di questo punto non rappresenta il moto reale del sistema, ma la variazione delle coordinate generalizzate per ogni istante di tempo.

Il nostro scopo è prendere tutte queste curve del sistema tra due istanti di tempo, che abbiano la caratteristica di avere conservata l'hamiltoniana $H$ . Si vede subito che l'azione è:

$A = \int_{t_1}^{t_2} \ \sum_{i=1}^{n} \ p_i \cdot \dot q_i \ dt = \int_{t_1}^{t_2} (L+H) \ dt = \int_{t_1}^{t_2} L \ dt + H \cdot (t_2 -t_1)$

dove $L = T - V$ è la lagrangiana e l'ultimo passaggio è chiaramente valido perché H è costante. La variazione dell'azione è dunque:

$\Delta A = \Delta \int_{t_1}^{t_2} \ \sum_{i=1}^{n} \ p_i \cdot \dot q_i \ dt = \Delta \int_{t_1}^{t_2} L \ dt + H \cdot (\Delta t_2 - \Delta t_1) = 0$

Ora dovremmo sviluppare l'integrale con la lagrangiana, che è composta da una componente dovuta alla variazione virtuale delle coordinate generalizzate e da una componente dovuta alla dipendenza dal tempo, utilizzare le equazioni di Lagrange per ottenere:

$\Delta \int_{t_1}^{t_2} L \ dt = - \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot \dot q_i \Delta t |_{t_1}^{t_2} + L \ \left[\Delta t \right]_{t_1}^{t_2}$

Così la variazione dell'azione diventa:

$\Delta A = \left(- \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot \dot q_i + L + H \right) \left[\Delta t \right]_{t_1}^{t_2} = 0$

e questo è vero per la definizione stessa di H.

[modifica] Conseguenze

In pratica il principio di minima azione si può esprimere in diversi modi. Per quanto riguarda la meccanica lagrangiana si dimostra facilmente che in un sistema conservativo cioè tale che le forze generalizzate siano espresse dal gradiente di un potenziale: $\vec F = - \nabla V$ con la Lagrangiana indipendente dal tempo, l'energia totale del sistema ha la forma del principio di minima azione:

$- \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot \dot q_i + L = - H$

dove $\sum_{i=1}^{n} p_i \cdot \dot q_i = 2T$ con T l'energia cinetica che dà: $H = 2 T - (T - V) = T + V$ cioè per l'appunto l'energia totale del sistema.

Se sul sistema non agiscono forze esterne il principio di minima azione è identico al principio di Fermat cioè:

Δ(t 2 - t 1) = 0

il sistema tra tutte le traiettorie con stessi punti estremi in cui si conserva l'energia (cinetica perché non c'é potenziale) il sistema percorre quella per cui il tempo è minimo, che Fermat propose per la luce.

[modifica] Bibliografia

Herbert Goldstein. Meccanica Classica.

[modifica] Voci correlate

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