Numero primo di Sophie Germain

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Il numero primo di Sophie Germain è quel numero primo p tale che 2p + 1 sia anch'esso un numero primo.

I numeri primi di Sophie Germain minori di 10⁴ sono:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791 ...

Attualmente, il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è 2540041185 × 2¹¹⁴⁷²⁹ - 1.

Non si sa se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain, ma il numero di numeri primi di Sophie Germain minori di un dato numero n può essere stimato euristicamente con la formula 2C₂ n / (ln n)², dove la C₂ corrisponde alla costante dei numeri primi gemelli.

I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Se un primo di Sophie Germain è della forma p = 4k - 1, allora 2^p - 1 non è un numero primo.

I primi di Sophie Germain sono inoltre collegati con l'ultimo teorema di Fermat. Se p è un primo di Sophie Germain, non ci sono tre numeri interi tali che 2p+1 non divide il prodotto xyz e che

x^p + y^p = z^p

[modifica] Dimostrazione.1

q = 2p + 1

p = (q − 1) / 2

x^p + y^p − z^p = 0

+ − 1 + − 1 + − 1 = 0 (mod q)

Impossibile poiché q > 3.

[modifica] Dimostrazione.2

Per assurdo esistono tre numeri x,y,z tali che 2p+1 non divide x,y,z e che

x^p + y^p = z^p

dove p è un primo di Sophie Germain cioè

2p + 1 = p'

con p' numero primo. Elevando a 2 entrambi i membri della prima equazione si ricava

(x^p + y^p)² = z^2p = z^{p' − 1}

e per il piccolo teorema di Fermat

(x^p + y^p)² = 1 Mod p'

x^2p + 2x^py^p + y^2p = 1 Mod p'

x^{p' − 1} + 2x^py^p + y^{p' − 1} = 1 Mod p'

2x^py^p = − 1 Mod p'

in modo analogo di ricava che

2x^pz^p = 1 Mod p'

2y^pz^p = 1 Mod p'

quindi

2x^py^p + 2x^pz^p = 0 Mod p'

2x^py^p + 2y^pz^p = 0 Mod p'

e

2x^p(y^p + z^p) = 0 Mod p'

2y^p(x^p + z^p) = 0 Mod p'

ricordando che p' non divide ne x ne y ne z allora

x^p + y^p + 2z^p = 0 Mod p'

3z^p = 0 Mod p'

ma cio è impossibile poiché p' dovrebbe dividere z