Monopolo elettrico

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A differenza del monopolo magnetico, il monopolo elettrico esiste ed semplicemente una carica elettrica. Se essa puntiforme, ed ha un valore $q$ , il campo elettrico da essa generato

$\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^3}\mathbf{r}$

Per ragioni di simmetria sferica, il potenziale associato alla carica q pu essere cos calcolato:

$V = \int_i^f \mathbf{E} \cdot \mbox{d}\mathbf{r}$

o anche

$V = \int_i^f E \mbox{d}r \cos\theta(r)$

dove $θ(r)$ esprime l'angolo formato dal vettore campo elettrico $\mathbf{E}$ e il vettore posizione $\mathbf{r}$

In tal modo anche possibile determinare il campo elettrico noto il potenziale

$\mathbf{E} = \frac{\partial V}{\partial{r}}\hat{e}_r$

In generale, per, il campo elettrico dato dal gradiente del campo potenziale

$\mathbf{E} = \mbox{grad}V = \nabla V$

[modifica] Conduttore sferico

Se la carica distribuita su un conduttore sferico, essa si trover tutta sulla sua superficie. Questo perch cariche dello stesso segno tendono a respingersi e, in un materiale conduttore, esse riescono a muoversi, al punto da permettere la massima distanza possibile tra le cariche. All'interno della sfera, pertanto, il campo elettrico sar nullo. Se si considera una superficie gaussiana sferica concentrica con raggio leggermente inferiore a quello del conduttore sferico, essa non contiene nessuna carica al suo interno; per la legge di Gauss il campo elettrico deve essere nullo.

All'esterno del conduttore sferico, invece, si pu considerare la carica come concentrata nel centro della sfera; in tal modo vale l'espressione gi enunciata nel caso di carica puntiforme

$\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^3}\mathbf{r}$

con $r$ che, in questo caso, deve essere maggiore del raggio del conduttore sferico. In definitiva:

$\mathbf{E} = \begin{cases} 0 & r<R \\ \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\frac{q}{r^3}\mathbf{r} & r \geq R \end{cases}$

[modifica] Sfera isolante carica

In una sfera costituita di materiale isolante, la carica non si distribuisce tutta sulla superficie, ma, se della carica è presente al suo interno, essa rimane immobile. La densità volumica $ρ$ di carica è una funzione che esprime il modo con la quale varia la distribuzione di carica all'interno della sfera. Nel caso in cui tale distribuzione dipenda solo dalla distanza dal centro del corpo, essa diventa una funzione del raggio $r$ della sfera, e quindi $ρ(r)$ .

Se ora si considera una superficie gaussiana sferica concentrica al corpo carico, il campo elettrico sarà dato da:

$E = \frac{q}{\epsilon_0 A}$

dove la carica q è quella contenuta all'interno della superficie gaussiana. Essa dipende dalla distribuzione di carica, la quale varia rispetto alla distanza dal centro della sfera. La carica q si calcola pertanto risolvendo il seguente integrale:

$q = 4 \pi \int_o^V \rho(r) \mbox{d}V = 4 \pi \int_0^r \rho(r) r^2 \mbox{d}r$

Il campo elettrico è allora dato da:

$E = \frac{4 \pi \int_0^r \rho(r) r^2 \mbox{d}r}{\epsilon_0 \cdot 4 \pi r^2} = \frac{\int_0^r \rho(r) r^2 \mbox{d}r}{\epsilon_0 r^2}$

Nel caso particolare in cui \rho(r) sia una funzione costante, ad essa si può sostituire \rho; il campo elettrico all'interno della sfera è allora espresso da:

$\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R^3} \mathbf{r}$

dove $Q$ rappresenta la carica totale contenuta dalla sfera ed $R$ il raggio di questa. Il campo elettrico all'interno della sfera dipende linearmente dalla distanza dal centro $r$ .

Per quanto riguarda la regione di spazio all'esterno della sfera, vale quanto detto nel caso della sfera conduttrice. I risultati possono così essere riassunti:

$\mathbf{E} = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{R^3} \mathbf{r} & r < R \\ \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\frac{q}{r^3}\mathbf{r} & r \geq R \end{cases}$

per il caso particolare di \rho(r) = \rho, mentre per il caso generale è:

$\mathbf{E} = \begin{cases} \displaystyle\frac{\int_0^r \rho(r) r^2 \mbox{d}r}{\epsilon_0 r^3} \mathbf{r} & r<R \\ \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \displaystyle\frac{q}{r^3}\mathbf{r} & r \geq R \end{cases}$

[modifica] Voci correlate

Campo elettrico
Dipolo elettrico
Quadrupolo elettrico

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