Legge di Benford
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La variabile casuale di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, p.es. "1", che secondo questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra.
- P(n) = log10(n + 1) − log10(n) = log10(1 + 1 / n)
prima cifra prime due cifre n P(x=n) n P(x=n) 1 30,1% 10 4,1% 2 17,6% 11 3,8% 3 12,5% 12 3,5% 4 9,7% 13 3,2% 5 7,9% 14 3,0% 6 6,7% ... ... 7 5,8% etc. 8 5,1% ... 9 4,6% 99 0,4% |
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Si può approssimativamente dire che la frequenza delle cifre iniziali è inversamente proporzionale al rapporto delle cifre stesse: in altre parole, se si scelgono due cifre m ed n la probabilità che un numero preso a caso inizi con m invece che con n è pari al rapporto n/m
La legge di Benford può essere giustificata per alcuni aspetti con il fatto banale che tutto ciò che cresce, prima di diventare grande dev'essere stato piccolo e con la costatazione che prima di raggiungere il numero 20 (che comincia con la cifra "2") bisogna passare da 10 numeri che cominciano con la cifra "1" e anche se tra 1 e 99 le prime cifre sono egualmente distribuite, passando a 100 prima di raddoppiare (200) ricomincia il "dominio" della cifra "1" ecc.
Una delle estensioni della legge di Benford, prende in considrazione la coppia delle prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99].
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[modifica] Storia
[modifica] Scoperte, riscoperte e approfondimenti
La legge di Benford pare sia stata scoperta dal matematico e astronomo Simon Newcomb e descritta in "American Journal of Mathematics" nel 1881. Secondo quello che forse è solo un aneddoto, Newcomb notò che nei libri con le tabelle dei logaritmi le pagine con le tabelle aventi "1" come prima cifra fossero molto più sporche delle altre, probabilmente perché usate più spesso. Venne controargomentato che in qualsiasi libro al quale si accede alle pagine in modo sequenziale le prime sarebbero state più usate delle ultime.
Successivamente, nel 1938, il fisico Frank Benford analizzò raccolte di numeri di molti altri ambiti di applicazione e così questa legge gli venne attribuita.
Nel 1996 Ted Hill dimostrò il teorema sulle distribuzioni miste.
[modifica] I dati presentati da Benford nel 1938
Titolo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 valori Fiumi, superfici 31.0 16.4 10.7 11.3 7.2 8.6 5.5 4.2 5.1 335 Popolazione 33.9 20.4 14.2 8.1 7.2 6.2 4.1 3.7 2.2 3259 Constanti 41.3 14.4 4.8 8.6 10.6 5.8 1.0 2.9 10.6 104 Quotidiani 30.0 18.0 12.0 10.0 8.0 6.0 6.0 5.0 5.0 100 Specific Heat 24.0 18.4 16.2 14.6 10.6 4.1 3.2 4.8 4.1 1389 Pressioni 29.6 18.3 12.8 9.8 8.3 6.4 5.7 4.4 4.7 703 H.P. Lost 30.0 18.4 11.9 10.8 8.1 7.0 5.1 5.1 3.6 690 Peso molecolare 26.7 25.2 15.4 10.8 6.7 5.1 4.1 2.8 3.2 1800 Drenaggio 27.1 23.9 13.8 12.6 8.2 5.0 5.0 2.5 1.9 159 Peso atomico 47.2 18.7 5.5 4.4 6.6 4.4 3.3 4.4 5.5 91 1/n, √n 25.7 20.3 9.7 6.8 6.6 6.8 7.2 8.0 8.9 5000 Design 26.8 14.8 14.3 7.5 8.3 8.4 7.0 7.3 5.6 560 Reader's Digest 33.4 18.5 12.4 7.5 7.1 6.5 5.5 4.9 4.2 308 Coste 32.4 18.8 10.1 10.1 9.8 5.5 4.7 5.5 3.1 741 X-Ray Volts 27.9 17.5 14.4 9.0 8.1 7.4 5.1 5.8 4.8 707 American League 32.7 17.6 12.6 9.8 7.4 6.4 4.9 5.6 3.0 1458 Blackbody 31.0 17.3 14.1 8.7 6.6 7.0 5.2 4.7 5.4 1165 Indirizzi 28.9 19.2 12.6 8.8 8.5 6.4 5.6 5.0 5.0 342 n,n²,n³,..,n! 25.3 16.0 12.0 10.0 8.5 8.8 6.8 7.1 5.5 900 Tassi di mortalità 27.0 18.6 15.7 9.4 6.7 6.5 7.2 4.8 4.1 418 MEDIA 30.6 18.5 12.4 9.4 8.0 6.4 5.1 4.9 4.7 1011 ERRORE PROBABILE ± 0.8 ± 0.4 ± 0.4 ± 0.3 ± 0.2 ± 0.2 ± 0.2 ± 0.3
[modifica] Bibliografia storica
- 1881 - Simon Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers" in The American Journal of Mathematics
- 1938 - Frank Benford, "The Law of Anomalous Numbers" in Proc. Amer. Phil. Soc.
- 1961 - Roger Pinkham, "On the distribution of first significant digits" in Ann. Math. Statist.
- 1972 - Hal R. Varian, "Benford's law" in American Statistician
- 1976 - R. A. Raimi, "The first digit problem" in American Mathematical Monthly
- 1992 - Mark Nigrini, "The detection of income evasion through an analysis of digital distributions," tesi di dottorato presso l'Università di Cincinnati
- 1995 - T. P. Hill, "Base-Invariance Implies Benford's Law" in Proc. Amer. Math. Soc.
- 1996 - T. P. Hill, "The statistical derivation of the significant digit law" in Statistical Science
- 1996 - Mark Nigrini, "A taxpayer compliance application of Benford's Law" in Journal of the American Taxation Association
[modifica] Esempi
[modifica] Abitanti dei comuni italiani al censimento 2001
Prima cifra Prime due cifre ------------------------ ------------------------- n comuni percentuale n comuni percentuale 1 2547 31,0 10 343 4,2 2 1391 16,9 11 309 3,8 3 1057 12,9 12 320 3,9 4 791 9,6 13 262 3,2 5 632 7,7 14 273 3,3 6 544 6,6 15 220 2,7 7 484 5,9 ... ... ... 8 406 4,9 97 24 0,3 9 365 4,4 98 30 0,4 Tot 8217 100,0 99 19 0,2
[modifica] Ambiti di applicazioni e limiti
Nel 1972, Hal Varian suggerí la possibilità di utlizzare questa legge per individuare eventuali falsificazioni nelle raccolte di dati usate per supportare decisioni politiche, basandosi sul presupposto che chi vuole "addomesticare" i dati ha una preferenza a usare numeri distribuiti in modo non "naturale". Comparando la frequenza relativa delle prime cifre dei numeri usati con la v.c. di Benford si potrebbero cosí evidenziare risultati anomali. Alla stessa maniera si può usare questa v.c. per cercare falsificazioni in raccolte di dati riguardanti assicurazioni, costi, entrate, ecc.
Nel 1992 Mark Nigrini propose l'utilizzo di questa variabile casuale per testare la credibilità delle dichiariazioni dei redditi, dopo averla testato con successo su casi reali e con frode accertata.
Tuttavia è necessaria la prudenza prima di applicare la legge di Benford, in quanto solo un insieme di numeri scelti a caso da una data variabile casuale, obbedisce a tale legge, mentre in un insieme di dati "reali" può, ma non deve seguire tale legge se sono stati imposti anche inconsapevolmente dei limiti.
P.es. mentre la distribuzione della prima cifra di statistiche quali "Popolazione dei comuni italiani che cominciano con la lettera F" oppure "quotazione delle azioni che hanno subito una perdita nella giornata di borsa" si suppone seguire la v.c. di Benford, ciò non è presumibilmente più valido se la statistica viene definita in modi come "Popolazione dei comuni italiani con 1000 fino 9999 abitanti".
[modifica] Metodologia
[modifica] Funzione di probabilità
- P(x = n) = log10(n + 1) − log10(n)
Il valore atteso è E(X)=µ=3,44, la varianza pari a σ²=6,06 e l'assimetria =0,79, nel caso che x debba essere compreso tra 1 e 9 (inclusi).
Al di la delle spiegazioni "comuni", la v.c. di Benford può essere costruita facendo ricorso a ζ la funzione zeta di Riemann (vedasi pure variabile casuale Zeta).
[modifica] Teoremi e corollari
[modifica] Invarianza di scala
Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori con una valore casuale qualsiasi, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford.
Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford.
L'invarianza di scala richiede che
- P(kx) = f(k) P(x)
Essendo richiesto che ∫P(x)dx = 1 e che anche ∫kP(kx)dx = 1 si ricava che la forma dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente
- P(x) = log10(e)/x per 0,1 ≤ x ≤ 1
è una distibuzione continua di pobabilità che produce valori casuali le cui prime cifre rispettano la legge di Benford.
[modifica] Probabilità della seconda cifra
seconda cifra n P(y=n) 0 12,0% 1 11,4% 2 10,9% 3 10,4% 4 10,0% 5 9,7% 6 9,3% 7 9,0% 8 8,8% 9 8,5% |
La probabilità che la seconda cifra sia n è pari a
- P(y=n) = kΣ19 log10(1 + 1/(10k + n) ); per n=0,1,2,...,9
Tale formula può essere generlizzata per determinare la probabilità della terza, quarta,... cifra, le quali sono sempre più "equamente" distribuite (ovvero la differenza tra la prima e l'ultima tende a ridursi).
[modifica] Generalizzazione a sistemi non decimali
Per un qualsiasi sistema numerico a base B, la probabilità della prima "cifra" diventa
- ln(1 + 1/d) / ln(B)
ove d indica la prima "cifra" e ln il logaritmo naturale si base e (vale a dire ln=loge)
