Gruppo primario

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In teoria dei gruppi si definisce gruppo primario un gruppo i cui elementi hanno tutti un periodo che è multiplo di un numero primo. Più particolarmente, se p è un numero primo, si dice p-gruppo un gruppo i cui elementi hanno tutti un periodo (finito) della forma p^m con m intero positivo; in altre parole, per ogni elemento g di un p-gruppo si trova un intero positivo m tale che g elevato alla potenza p^m coincide con l'unità del gruppo stesso.

Per un gruppo finito G richiedere che sia un p-gruppo equivale a chiedere che l'ordine di G, cioè il numero dei suoi elementi, sia una potenza del numero primo p.

Sappiamo che i gruppi primari finiti godono di molte proprietà. Uno dei primi risultati standard, ottenuto servendosi della equazione delle classi di coniugio afferma che il centro non può ridursi alla sola unità, cioè al sottogruppo banale. Più stringentemente si dimostra che ogni gruppo primario finito è sia nilpotente che solubile.

Due gruppi primari dello stesso ordine non sono necessariamente isomorfi; ad esempio il gruppo ciclico C₄ e il gruppo di Klein V₄ sono entrambi 2-gruppi di ordine 4, ma non sono isomorfi. Molti gruppi primari non sono abeliani: il gruppo diedrale D₄ è un 2-gruppo non abeliano.

Ogni gruppo finito non banale contiene un sottogruppo che è un gruppo primario. Questo è assicurato dai teoremi di Sylow.

In senso asintotico, quasi tutti i gruppi finiti sono gruppi primari; in effetti quasi tutti i gruppi finiti sono 2-gruppi.
Precisiamo queste affermazioni. Per ogni intero positivo n denotiamo con F(n) la frazione delle classi riguardanti 2-gruppi nell'ambito delle classi di isomorfismo dei gruppi di ordine al più n. Si dimostra che al crescere di n all'infinito F(n) tende a 1.
Ad esempio per n = 2000, la frazione delle classi di isomorfismo di ordine 1024 supera il 99% (e F(2000) è ancora maggiore).

Diamo ora un esempio di gruppo primario infinito. Denotato al solito con p un numero primo, chiamiamo G l'insieme dei numeri razionali della forma m/pⁿ con m ed n numeri interi naturali tali che m < pⁿ. G è chiuso rispetto alla somma modulo 1, questa operazione è commutativa e invertibile e il numero 0 è il suo elemento neutro. G munito della somma modulo 1 costituisce un p-gruppo infinito e abeliano. Ogni gruppo isomorfo a G viene chiamato p^∞-gruppo. I gruppi di queste classi di isomorfismo svolgono un ruolo importante nella classificazione dei gruppi abeliani infiniti.

La classe dei p^∞-gruppi può essere utilmente rappresentata dal sottogruppo moltiplicativo di C \ {0} costituito da tutte le pⁿ-esime tadici dell'unità con n intero naturale arbitrario.
Un altro possibile rappresentante dei p^∞-gruppi è il limite diretto dei gruppi Z / pⁿZ rispetto agli omomorfismi Z / pⁿZ → Z / pⁿ⁺¹Z che sono indotti dalla moltiplicazione per p.

[modifica] Voci correlate

• gruppo nilpotente
• sottogruppo di Sylow

&rango di Prüfer