Funzione spline
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In analisi matematica, una spline è una funzione, costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti (detti nodi della spline), in modo da essere continua (almeno fino ad un dato ordine di derivate) in ogni punto dell'intervallo.
[modifica] Definizione
Sia data una suddivisione dell’intervallo chiuso [a,b]. Una funzione spline di grado p con nodi nei punti xi con è una funzione su [a,b] indicata con sp(x) tale che, nell'intervallo [a,b] si abbia:
- 1. in ogni sottointervallo [xi,xi + 1] con la funzione sp(x) è un polinomio di grado p.
- 2. la funzione sp(x) e le sue prime p − 1 derivate sono continue.
Una funzione spline è interpolante se, oltre a soddisfare i due requisiti sopra indicati, passa per ognuno dei punti che la definiscono. In particolare, data la tabulazione (campionamento) di una funzione f(x) nei punti (xi,yi) con è detta spline interpolante la spline sp(x) tale che: .
Indicata con sp,j(x) la restrizione di una spline di grado p sul sottointervallo [xj,xj + 1] , si può sempre pensare a sp,j(x) nella forma
, dove gli n(p + 1) coefficienti aij (sono p + 1 su ciascuno degli n sottointervalli) sono da determinare imponendo le condizioni di continuità di nei nodi interni:
per . Ciò però da luogo a p(n − 1) equazioni, pertanto il sistema di equazioni così ottenuto, ha n + p = n(p + 1) − p(n − 1) gradi di libertà. Anche nel caso delle spline interpolatorie, imponendo il passaggio della spline per i punti , non si è ancora in grado di determinare p − 1 coefficienti. Per questo motivo nella pratica si è soliti aggiungere delle condizioni aggiuntive, in maniera che il sistema abbia soluzione unica.
Le condizioni aggiuntive più usate sono di due tipi:
- per , splines che soddisfano questo tipo di condizioni sono dette spline periodiche;
- , a patto però che sia p = 2m − 1 . Spline che soddisfano condizioni di questo tipo sono invece dette spline naturali.
[modifica] Applicazioni
Le funzioni spline, come, per il caso di superfici, le funzioni di Bézier, hanno numerose applicazioni pratiche, in particolare nella progettazione meccanica.