Funzionale lineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o una forma lineare è una applicazione lineare da uno spazio vettoriale (V, K) nel suo campo di scalari K.

Generalmente, il termine "funzionale lineare" è usato in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è usato in geometria. In analisi, gli elementi dello spazio vettoriale V sono spesso funzioni, ed il termine "funzionale" è usato in questo caso per evitare confusioni. In geometria, una forma lineare è, assieme alla forma bilineare, un particolare esempio di forma multilineare.

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica, soprattutto nella meccanica quantistica.

[modifica] Esempi

La funzione

$f: \mathbb R^n \to \mathbb R$

$(x_1,\ldots,x_n)\mapsto x_1$

è un funzionale lineare, che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.
Il funzionale

$f \mapsto \int_a^b f(x)\, dx$

associa ad una funzione integrabile f, definita sull'intervallo $[a, b]$ ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di f tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale V può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi V ha dimensione infinita.

[modifica] Spazio duale

Per approfondire, vedi la voce spazio duale.

L'insieme di tutti i funzionali lineari da V in K, dotato di alcune naturali operazioni di somma e prodotto per scalare, forma un altro spazio vettoriale V* duale a V. Se V ha dimensione n, allora anche V* ha dimensione n.

Se V è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui: questi formano un sottospazio dello spazio duale, detto spazio duale continuo.

[modifica] Meccanica quantistica

I funzionali lineari sono particolarmente importanti in meccanica quantistica. Un sistema fisico è rappresentato da spazi di Hilbert V, che è naturalmente isomorfo al suo duale.