Formula di Jacobi
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Il determinante di una matrice può considerarsi una funzione polinomiale
quindi essa è differenziabile rispetto ad ogni variabile corrispondente al valore che può assumere in una casella e per qualunque suo valore. La sua derivata può essere espressa mediante la formula di Jacobi:
dove cofT(A) denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche dei complementi algebrici) di A, mentre tr(A) ne denota la traccia. La formula prende il nome dal matematico C.G.J. Jacobi.
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[modifica] Derivation
We first prove a preliminary lemma:
Lemma. Given a pair of square matrices A and B of the same dimension n, then
Proof. The product AB of the pair of matrices has components
Replacing the matrix A by its transpose AT is equivalent to permuting the indices of its components:
The result follows by taking the trace of both sides:
Theorem.
Proof. Laplace's formula for the determinant of a matrix A can be stated as
Notice that the summation is performed over some arbitrary row i of the matrix.
The determinant of A can be considered to be a function of the elements of A:
- det(A) = F(A11,A12,...,A21,A22,...,Ann)
so that its differential is
This summation is performed over all n×n elements of the matrix.
To find ∂F / ∂Aij consider that in the right side of Laplace's formula, index i can be chosen at will (in order to optimize calculations: any other choice would eventually yield the same result, but it could be much harder). In particular, it can be chosen to match the first index of ∂ / ∂Aij:
Now, if an element of a matrix Aij and a cofactor adjT(A)ik of element Aik lie on the same row (or column), then the cofactor will not be a function of Aij, because the cofactor of Aik is expressed in terms of elements not in its own row (nor column). Thus,
so
All the elements of A are independent of each other, i.e.
where δ is the Kronecker delta, so
Therefore,
and applying the Lemma yields