Deformazioni elastiche e plastiche

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Indice

1 Generalità
2 Elasticità
3 Deformazioni elastiche omogenee
4 Deformazioni elastiche non omogenee
5 Il tensore delle deformazioni
6 Sforzo
7 Relazione di Cauchy
8 Il tensore degli sforzi
9 Relazioni sforzo-deformazione
10 Voci correlate

[modifica] Generalità

Ogni corpo o più propriamente ogni sistema continuo isotropo, soggetto ad una sollecitazione, si deforma in proporzione all'intensità dello sforzo applicato, alla natura del materiale e ad altre condizioni fisiche. In generale una deformazione elastica è una deformazione che scompare al cessare della sollecitazione, altrimenti si ha una deformazione plastica o permanente. In generale vi sono materiali che hanno praticamente solo deformazione plastica e materiali che sono elastici fino un certo valore della sollecitazione, dopo il quale si ha plasticità fino alla rottura.

Inoltre possiamo definire la deformazione come omogenea, allora ogni elemento di volume del sistema continuo si deforma allo stesso modo indipendentemente dalla sua posizione, e non omogenea, se elementi uguali di volume del corpo si deformano in maniera diversa a seconda della posizione.

[modifica] Elasticità

Si dice elastica una deformazione, in generale piccola, che scompare al cessare della sollecitazione. La trattazione dell'elasticità presuppone che siano accettate alcune ipotesi:

che il corpo sia in equilibrio sotto l'azione delle forze applicate;
che le deformazioni siano proporzionali agli spostamenti (in tal caso si parla di elasticità lineare);
che gli spostamenti siano infinitesimi e funzioni regolari nell'intorno del punto considerato.

L'esempio più esplicativo è quello di considerare un cilindro metallico di lunghezza l, diametro d delle superfici di base S. Se sottoponiamo questo provino cilindrico a due forze F opposte di trazione applicate sull'asse longitudinale possiamo osservare:

deformazione assiale, la deformazione relativa della lunghezza:

$\epsilon_l = \frac {l' - l} {l} = \frac {\Delta l} {l}$

deformazione laterale, deformazione relativa della larghezza:

$\epsilon_d = \frac {d' - d} {d} = \frac {\Delta d} {d}$

Queste deformazioni si possono raggruppare nella più generale deformazione di volume:

$\epsilon_V = \frac {V' - V} {V} = \frac {\Delta V} {V}$

dove chiaramente l', d', V', sono le nuove dimensioni del provino in equilibrio una volta applicata la sollecitazione.

Un'altro tipo di deformazione, la torsione, la quale è dovuta all'applicazione di una coppia di momento $\vec M$ , si osserva una rotazione intorno all'asse longitudinale del provino. Questo tipo di deformazione non dà luogo ad una variazione delle dimensioni ed è perciò detta deformazione di forma.

Un'altra defomazione di forma è quella detta deformazione di taglio o di scorrimento, a seguito dell'applicazione di una coppia di forze per esempio a due basi di un cubo. In questo caso la variazione della forma del cubo crea un angolo $θ$ delle facce laterali:

ε t = t a n θ

In generale, per piccole deformazioni, i corpi seguono la legge di Hooke. Di seguito sono riportati i tipi di deformazioni.

[modifica] Deformazioni elastiche omogenee

Deformazione assiale (compressione o trazione):

$\sigma = E \cdot \epsilon_l$

dove $E$ è il modulo di elasticità o modulo di Young.

Deformazione laterale:

La deformazione laterale è proporzionale a quella assiale:

$\epsilon_d = -\nu \cdot \epsilon_l$

dove $ν$ è il coefficiente di Poisson.

Deformazione di volume:

$\epsilon_V = \frac {\sigma} {K}$

dove $K$ è detto modulo di comprimibilità.

Deformazione di scorrimento o taglio

In questo caso si forma un angolo a seguito dell'applicazione di una coppia di forze sull'elemento di volume, quantificabile come:

$\epsilon_t = \frac {t} {G}$

dove $G$ è detto modulo di rigidità.

[modifica] Deformazioni elastiche non omogenee

Torsione

Infine consideriamo la torsione che avviene per l'applicazione di un momento parallelo all'asse di simmetria:

$M = C \cdot \theta$

dove $C$ è detto modulo di torsione.

[modifica] Il tensore delle deformazioni

Cosideriamo un punto $P (x, y, z)$ di un sistema continuo isotropo non deformato e un altro punto $Q (x + d x, y + d y, z + d z)$ distante da $P$ di un tratto infinitesimo $d\vec r = \left ( dx, dy, dz \right)$ . A seguito di una deformazione il punto $P (x, y, z)$ si porterà in $P'$ percorrendo $\vec s = \vec {PP'} = \left (s_x + s_y + s_z \right)$ e $Q$ si porterà in $Q'$ , di un tratto infinitesimo $\vec s + d\vec s = \vec {QQ'} = \left (s_x + ds_x , s_y + ds_y, s_z + ds_z \right)$ . In pratica il vettore $\vec {PQ} = \left (dx, dy, dz \right)$ si trasformerà in $\vec {P'Q'}= \left (ds_x, ds_y, ds_z \right)$ , secondo le relazioni:

$ds_x = \frac {\partial s_x} {\partial x} dx + \frac {\partial s_x} {\partial y} dy + \frac {\partial s_x} {\partial z} dz$

$ds_y = \frac {\partial s_y} {\partial x} dx + \frac {\partial s_y} {\partial y} dy + \frac {\partial s_y} {\partial z} dz$

$ds_z = \frac {\partial s_z} {\partial x} dx + \frac {\partial s_z} {\partial y} dy + \frac {\partial s_z} {\partial z} dz$

Possiamo esprimere queste relazioni in forma matriciale in cui si nota una matrice a nove derivate parziali detta tensore di deformazione S:

$\begin{bmatrix} ds_x \\ ds_y \\ ds_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {\partial s_x} {\partial x} & \frac {\partial s_x} {\partial y} & \frac {\partial s_x} {\partial z} \\ \frac {\partial s_y} {\partial x} & \frac {\partial s_y} {\partial y} & \frac {\partial s_y} {\partial z} \\ \frac {\partial s_z} {\partial x} & \frac {\partial s_z} {\partial y} & \frac {\partial s_z} {\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}$

Ogni tensore può essere decomposto in un tensore simmetrico più un tensore antisimmetrico $S = S s + S a$ :

$S_s = \begin{bmatrix} \frac {\partial s_x} {\partial x} & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y}+\frac {\partial s_y} {\partial x} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial z}+\frac {\partial s_z} {\partial x} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_y} {\partial x}+\frac {\partial s_x} {\partial y} \right) & \frac {\partial s_y} {\partial y} & \frac {1} {2} \left(\frac {\partial s_y} {\partial z}+\frac {\partial s_z} {\partial y} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial x}+\frac {\partial s_x} {\partial z} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial y}+\frac {\partial s_y} {\partial z} \right) & \frac {\partial s_z} {\partial z} \end{bmatrix}$

$S_a = \begin{bmatrix} 0 & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y}-\frac {\partial s_y} {\partial x} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial z}-\frac {\partial s_z} {\partial x} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_y} {\partial x}-\frac {\partial s_x} {\partial y} \right) & 0 & \frac {1} {2} \left(\frac {\partial s_y} {\partial z}-\frac {\partial s_z} {\partial y} \right) \\ \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial x}-\frac {\partial s_x} {\partial z} \right) & \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial y}-\frac {\partial s_y} {\partial z} \right) & 0 \end{bmatrix}$

Il tensore simmetrico descrive le deformazioni rigide come segue:

espansioni o allungamenti relativi, rappresentati dagli elementi sulla diagonale principale:

$\epsilon_x = \frac {\partial s_x} {\partial x}$ ; $\epsilon_y = \frac {\partial s_y} {\partial y}$ ; $\epsilon_z = \frac {\partial s_z} {\partial z}$

scorrimenti o distorsioni, rappresentati dagli elementi fuori dalla diagonale principale:

$\epsilon_{xy} = \epsilon_{yx} = \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y} + \frac {\partial s_y} {\partial x}\right)$

$\epsilon_{xz} = \epsilon_{zx} = \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial z} + \frac {\partial s_z} {\partial x}\right)$

$\epsilon_{yz} = \epsilon_{zy} = \frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_z} {\partial y} + \frac {\partial s_y} {\partial z}\right)$

Il tensore antisimmetrico descrive invece le rotazioni rigide nell'intorno del punto P, che non rappresenta una deformazione. Per esempio:

$\frac {1} {2} \left (\frac {\partial s_x} {\partial y}-\frac {\partial s_y} {\partial x} \right)$

rappresenta la rotazione $d θ z$ attorno all'asse z, nell'intorno del punto P.

La traccia del tensore di deformazione è un'invariante e rappresenta il coefficiente di dilatazione cubica pari al gradiente:

$\Epsilon = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z = \frac {\partial s_x} {\partial x} + \frac {\partial s_y} {\partial y} + \frac {\partial s_z} {\partial z} = \nabla \vec s = div \vec s$ .

dove $\nabla$ rappresenta il gradiente in coordinate cartesiane.

[modifica] Sforzo

Per sapere che cosa accade all'interno del corpo soggetto ad una sollecitazione dobbiamo introdurre il concetto di sforzo. In generale su un elemento di volume del sistema continuo isotropo, agiranno sia forze di volume che forze di superficie.

Le forze di volume sono quelle forze dovute all'interazione del corpo con corpi esterni e sono proporzionali alla massa volumica del corpo stesso. In generale queste non intervengono nella trattazione dell'elastcità lineare.

Le forze di superficie sono invece quelle forze localizzate sulle superfici del corpo che si trasmettono in tutte le superfici infinitesime in cui il corpo continuo può pensarsi essere diviso.

Per sforzo si intende la forza trasmessa per unità di superficie, nell'intorno di un punto, che si crea a seguito dell'applicazione di sollecitazioni esterne su un sistema, allo scopo di mantenere l'equilibrio; forza non necessariamente perpendicolare alla superficie. Possiamo più facilmente rappresentare lo sforzo come:

sforzo normale o pressione:

$\sigma = \vec F \cdot \vec n = F \cos \theta$

sforzo tangenziale o di taglio:

$\tau = \vec F \cdot \vec t = F \sin \theta$

dove $\vec n$ e $\vec t$ rappresentano i versori rispettivamnte normale e tangente alla superficie cui è applicata la forza.

L'unità di misura dello sforzo è il Pascal, ovvero Newton su metro quadrato.

[modifica] Relazione di Cauchy

Consideriamo un elemento infinitesimo di volume $d V$ all'interno di un sistema continuo isotropo e scegliamo le tre superfici coincidenti con i piani coordinati $d π x$ , $d π y$ , $d π z$ , i cui versori uscenti sono rispettivamente $\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$

Vediamo che relazione intercorre tra queste superfici e una superficie infinitesima generica $d π$ orientata con versore uscente $\vec n$ .

Consideriamo gli sforzi agenti sulle superfici con ovvi riferimenti degli indici ai versori: $\vec \sigma_x$ , $\vec \sigma_y$ , $\vec \sigma_z$ , $\vec \sigma_n$ ; per la condizione di equilibrio:

$\vec \sigma_x d\pi_x + \vec \sigma_y d\pi_y + \vec \sigma_z d\pi_z+ \vec \sigma_n d\pi_n = 0$

dalla quale otteniamo la relazione di Cauchy:

$\vec \sigma_n = - \left (\vec \sigma_x \cos \widehat{ni} + \vec \sigma_y \cos{nj} + \vec \sigma_z \cos{nk} \right)$

dove si è diviso tutto per $d S$ e sapendo che $\frac {dS_x} {dS} = \cos \widehat{ni}$ , e così via.

[modifica] Il tensore degli sforzi

A partire dalla relazione di Cauchy possiamo sviluppare la relazione vettoriale in componenti di $\vec \sigma_n$ , con ovvi riferimenti per gli indici:

σ x n = σ x x cos n i + σ x y cos n j + σ x z cos n k

σ y n = σ y x cos n i + σ y y cos n j + σ y z cos n k

σ z n = σ z x cos n i + σ z y cos n j + σ z z cos n k

Otteniamo in questo modo una matrice detta tensore degli sforzi sulla generica superficie infinitesima di versore $\vec n$ :

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

I termini sulla diagonale principale sono gli sforzi normali agenti sulla superficie generica. I termini fuori dalla diagonale principale rappresentano le componenti degli sforzi di taglio. Dobbiamo sottolineare per gli elementi fuori dalla diagonale principale che:

$σ x y = σ y x$ ; $σ x z = σ z x$ ; $σ y z = σ z y$