Composizione di funzioni
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, una funzione f tra due insiemi X e Y trasforma ogni elemento di X in uno di Y. In presenza di un'altra funzione g che trasforma ogni elemento di Y in un elemento di un altro insieme Z, si definisce la composizione di f e g come la funzione che trasforma ogni elemento di X in uno di Z usando prima f e poi g.
[modifica] Definizione
Formalmente, date due funzioni f: X → Y e g: Y → Z definiamo la funzione composta
- g o f: X → Z
ponendo
- (g o f)(x) = g(f(x)) per ogni x in X
cioè applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo t sia data da una funzione h(t) e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza x sia data da un'altra funzione c(x). Allora (c o h)(t) = c(h(t)) descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo t.
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere xfg invece di g(f(x)).
[modifica] Proprietà
La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se f, g e h sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora f o (g o h) = (f o g) o h. Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive f: X → X, con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità (f(x) = x per ogni x) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di X. Se l'insieme X contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.
[modifica] Composizioni iterate
Una funzione f: X → X (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa n volte, ed il risultato può essere scritto fn quando non genera ambiguità (ad esempio con sen2(x) = sen(x) · sen(x) generalmente non si denota la composizione della funzione seno con sé stessa, ma il prodotto di due seni).
Lo studio delle composizioni iterate è centrale nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e nella generazione dei frattali, che occorrono spesso come limiti di funzioni iterate infinite volte.
