Complemento di Schur
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In algebra lineare e nella teoria delle matrici, il complemento di Schur è una costruzione che prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur (1875-1941).
[modifica] Definizione
Supponiamo che A, B, C e D siano matrici rispettivamente di tipo p×p, p×q, q×p e q×q, e che D è invertibile. Queste matrici siano i blocchi della matrice di tipo (p+q)×(p+q)
![M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]](../../../math/6/6/e/66eb0aebf60bfc9e21dabb25f1e399fe.png)
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Allora si definisce complemento di Schur del blocco D della matrice M la matrice di aspettop×p
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Se M è una matrice simmetrica definita positiva, si dimostra che è tale anche il complemento di Schur di D in M.
[modifica] Applicazioni alla teoria della probabilità e alla statistica
Consideriamo due vettori colonna casuali X e Y appartenenti a Rn e Rm rispettivamente, e il vettore (X′, Y′)′ (dove a′ denota la trasposta di a); supponiamo che quest'ultimo abbia una distribuzione normale multivariata la cui varianza è la matrice simmetrica definita positiva
![V=\left[\begin{matrix} A & B \\ B' & C \end{matrix}\right]](../../../math/b/a/5/ba5237bc0994c2e61c84fd6dc1c899f8.png)
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Allora la varianza condizionale di X dato Y è il complemento di Schur di C in V:
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Se assumiamo che la precedente matrice V non sia una varianza di un vettore casuale, ma una varianza campione, allora questa può avere una distribuzione di Wishart. In questo caso, anche il complemento di Schur di C in V presenta una distribuzione di Wishart.
