Coefficiente di Gini

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Rappresentazione grafica del coefficiente di Gini

Il coefficiente di Gini è una misura della diseguaglianza di una distribuzione, definita come un rapporto con al numeratore l'area compresa tra la curva di Lorenz della distribuzione e la curva data da una distribuzione uniforme, e al denominatore l'area sottesa dalla distribuzione uniforme. Il coefficiente di Gini è spesso usato per misurare la differenza di reddito. È un numero compreso tra 0 ed 1, dove 0 corrisponde a una uguaglianza perfetta (cioè il caso in cui tutti abbiano lo stesso reddito) e 1 corrisponde alla completa disuguaglianza (cioè dove una persona abbia tutto il reddito, mentre tutti gli altri hanno un reddito nullo). Il coefficiente fu sviluppato dallo statistico Italiano Corrado Gini e pubblicato nel suo articolo del 1912 "Variabilità e mutabilità". Il coefficiente di Gini è pari a metà della differenza media relativa. L' indice di Gini è il coefficiente di Gini espresso in percentuale ed e' uguale al coefficiente di Gini moltiplicato per 100.

Sebbene il coefficiente di Gini sia usato soprattutto per la misura delle differenze di reddito, può anche essere utilizzato per misurare la differenza di ricchezza. Questo utilizza richiede che nessuno abbia una ricchezza netta negativa.

Attualmente il coefficiente di Gini e' comunemente usato per la misura del potere discriminatorio dei sistemi di rating nel controllo del rischio di credito.

Indice

1 Calcolo
2 Income Gini coefficients in the world
- 2.1 Correlazione con il PIL procapite
- 2.2 Coefficiente di Gini negli USA nel tempo
3 Vantaggi per la misura dell'uguaglianza
4 Svantaggi per la misura della disuguaglianza
5 Note
6 Coefficiente di Gini ottimale
7 References
8 Voci correlate
9 Collegamenti esterni

[modifica] Calcolo

Il coefficiente di Gini è definito come il rapporto delle aree nel diagramma delle curve di Lorenz. Se l'area tra la linea di perfetta uguaglianza e la curva di Lorenz è chiamata A, e l'area sotto la curva di Lorenz è detta B, allora il coefficiente di Gini e' dato dal rapporto A/(A+B). Dato che A+B = 0.5, il coefficiente di Gini, G = 2A =1-2B. Se la curva di Lorenz è rappresentata dalla funzione Y = L(x), il valore di B può essere ricavato attraverso l'integrazione:

$G = 1 - 2\,\int_0^1 L(X) dX$

In alcuni casi, questa equazione può essere utilizzata per calcolare il coefficiente di Gini senza conoscere direttamente la curva di Lorenz. Per esempio:

Per una popolazione con valori y_i, i = 1 fino a n, che sono indicizzati in modo non decrescente ( y_i ≤ y_i+1):

$G = \frac{1}{n}(n+1 - 2\,\frac{\Sigma_{i=1}^n \; (n+1-i)y_i}{\Sigma_{i=1}^n y_i})\,$

Per una Distribuzione di probabilità discreta f(y), dove y_i, i = 1 a n, sono i punti con probabilità diversa da zero e che sono indicizzati in ordine crescente ( y_i < y_i+1):

$G = 1 - \frac{\Sigma_{i=1}^n \; f(y_i)(S_{i-1}+S_i)}{S_n}$

dove:

$S_i = \Sigma_{j=1}^i \; f(y_j)\,y_j\,$ and $S_0 = 0\,$

Per una funzione di distribuzione cumulativa F(y) differenziabile a tratti, che abbia media μ, e sia zero per tutti i valori negativi di y:

$G = 1 - \frac{1}{\mu}\int_0^\infty (1-F(y))^2dy$

Dato che il coefficiente di Gini è uguale alla metà della differenza relativa media, può anche essere calcolato ricorrendo alle formule per ricavare la differenza media relativa

Per un campione casuale S composto dai valori y_i, i = 1 fino a n, che siano indicizzati in ordine non decrescente ( y_i ≤ y_i+1), la statistica:

$G(S) = \frac{1}{n-1}(n+1 - 2\,\frac{\Sigma_{i=1}^n \; (n+1-i)y_i}{\Sigma_{i=1}^n y_i})\,$

è uno stimatore consistente della popolazione del coefficiente di Gini, ma non è, in generale, privo di bias. Come per la differenza media relativa, non esiste un campione statistico che in generale sia uno stimatore privo di pregiudizio statistico per la popolazione del coefficiente di Gini. Gli intervalli di confidenza per la popolazione del coefficiente di Gini possono essere calcolati con tecniche di bootstrap.

E' possibile che in alcuni casi l'intera curva di Lorenz non sia nota, e siano conosciuti solo i valori in alcuni intervalli. In questo caso, il coefficiente di Gini può essere approssimato usando diverse tecniche per l'interpolazione e l'estrazione dei valori mancanti della curva di Lorenz. Se ( X _k , Y_k ) sono i punti noti sulla curva di Lorenz, con X _k indicizzati in modo crescente ( X _{k - 1} < X_k ), si ha che:

X_k è la proporzione cumulata della variabile della popolazione, per k = 0,...,n, con X₀ = 0, X_n = 1.
Y_k è la proporzione cumulata della variabile di reddito, for k = 0,...,n, with Y₀ = 0, Y_n = 1.

Se la curva di Lorenz è approssimata in ciascun intervallo come una linea tra due punti noti consecutivi, allora l'area B può essere approssimata a dei trapezi e:

$G_1 = 1 - \sum_{k=1}^{n} (X_{k} - X_{k-1}) (Y_{k} + Y_{k-1})$

è l'approssimazione per G. Si possono ottenere risultati più accurati utilizzando altri metodi di integrazione numerica per la stima dell'area B, come ad esempio approssimando la curva di Lorenz con una funzione quadratica tra le coppie di intervalli noti, o costruendo una approssimazione appropriata che colleghi in modo appropriato tutti i punti noti della curva di Lorenz. Se la popolazione media e i valori al contorno di ciascun intervallo sono noti, questi dati possono essere utilizzati per migliorare l'accuratezza della approssimazione.

[modifica] Income Gini coefficients in the world

Vedi la lista completa nella lista degli Stati per uguaglianza di reddito.

coefficiente di Gini, distribuzione del reddito per stato

Mentre la maggior parte delle nazioni Europee sviluppate hanno coefficienti di Gini compresi tra 0.24 e 0.36, il coefficiente di Gini degli Stati Uniti d'America supera 0.4, indicando una maggiore disuguaglianza di reddito nella popolazione statunitense. L'uso del coefficiente di Gini può aiutare nella quantificazione delle differenze nella politica e nella filosofia adottate per il benessere e per gli stipendi. Si deve però ricordare che il coefficiente di Gini può essere fuorviante quando si facciano paragoni tra grandi e piccoli Stati (vedi la sezione dedicata alle critiche).

coefficienti di Gini, distribuzione dei redditi nel tempo per alcuni Stati

[modifica] Correlazione con il PIL procapite

Gli stati poveri (quelli con basso prodotto interno lordo) hanno coefficienti di Gini che variano in tutto l'intervallo tra valori molto bassi (0.25) a valori molto alti (0.71), mentre i paesi più ricchi hanno tipicamente valori bassi per il coefficiente di Gini (inferiore a 0.40).

[modifica] Coefficiente di Gini negli USA nel tempo

Il coefficiente di Gini per gli Stati Uniti d'America in diversi periodi di tempo è riportato qui a fini comparativi (fonte US Census Bureau):

1970: 0.394
1980: 0.403
1990: 0.428
2000: 0.462
2005: 0.469^[1]

Notare che questo corrisponde all'abbassamento dell'aliquota massima delle tasse, per esempio dal 70% negli anni '60 al 35% del 2000.

[modifica] Vantaggi per la misura dell'uguaglianza

Il coefficiente di Gini ha come vantaggio principale quello di misurare la disuguaglianza attraverso l'analisi di un rapporto, invece di usare una variabile che non rappresenti la maggior parte della popolazione, come ad esempio il reddito pro capite o il prodotto interno lordo

Può essere utilizzato per confrontare le distribuzioni della ricchezza in diversi settori della popolazione o in diversi stati, ad esempio il coefficiente di Gini per le aree urbane è diverso da quello delle aree rurali in molto Paesi (sebbene, ad esempio, negli Stati Uniti siano quasi identici).

E' sufficientemente semplice che può essere confrontato tra diversi stati e facilmente interpretato. Le statistiche legate al PIL sono spesso criticate dato che non rappresentano i cambiamenti di tutta la popolazione; il coefficiente di Gini dimostra come il reddito cambi per ricchi e poveri. Se il coefficiente di Gini sale insieme al PIL, significa che lo stato di povertà non stia cambiando per la maggior parte della popolazione.

Il coefficiente di Gini può essere utilizzato per indicare come la distribuzione del reddito sia cambiato nel tempo in un dato Paese, rendendo possibile osservare se la disuguaglianza stia crescendo o diminuendo.

Il coefficiente di Gini soddisfa quattro importanti principi:
- Anonimia: non importa chi siano quelli che guadagnano molto e quelli che guadagnano poco.
- Indipendenza di scala: il coefficiente di Gini non considera la dimensione dell'economia, come sia misurata, o quanto sia ricco o povero in media un Paese.
- Indipendenza dalla popolazione: non importa quanto sia grande la popolazione di un Paese.
- Principio di trasferibilità: se il reddito (meno la differenza), fosse trasferito da una persona ricca a una povera la distribuzione risulterebbe piu' equa.

[modifica] Svantaggi per la misura della disuguaglianza

Il coefficiente di Gini misurato per paesi geograficamente molto grandi risulta generalmente molto più alto rispetto a ciascun coefficiente calcolato per le sue regioni. Per questa ragione i punteggi calcolati per i Paesi europei sono difficilmente comparabili con il punteggio totalizzato dagli Stati Uniti, ad esempio.

Comparare le distribuzioni di reddito tra stati diversi può essere difficoltoso perché i sistemi di beneficio possono cambiare. Per esempio, alcuni stati offrono benefici monetari, mentre altri offrono buoni pasto, che non possono essere tenuti in conto come reddito nella curva di Lorenz e quindi non sono presi in considerazione nel calcolo del coefficiente di Gini.

La misura può dare risultati diversa se applicata agli individui o alle unità familiari. Quando le popolazioni non vengono misurate con definizioni consistenti il confronto non ha senso.

La curva di Lorenz può sottostimare la reale disuguaglianza se le unità familiari più ricche possono usare il loro reddito in modo più efficiente delle unità familiari povere. Da un altro punto di vista, la misura dell'ineguaglianza potrebbe essere il risultato di una maggiore o minore efficienza nell'uso del reddito.

Come per tutte le statistiche, ci saranno sempre sistematiche ed errori casuali nei dati. Il valore del coefficiente di Gini diminuisce quando i dati diventano meno accurati. Inoltre gli stati possono raccogliere i dati in modo diverso, rendendo difficile un confronto.

Economie con redditi e coefficiente di Gini simili possono ancora avere distribuzioni di reddito molto diverse. Questo effetto è dovuto al fatto che le curve di Lorenz possono avere andamenti diversi dando comunque lo stesso risultato per G. Come esempio limite, una economia dove metà delle unità familiari non abbiano reddito, e l'altra metà si distribuisca l'intero reddito in modo equo ha un coefficiente di ½; ma un'economia con completa equità nella distribuzione del reddito, eccetto una unità familiare che abbia metà del reddito totale, ha anch'essa un coefficiente di Gini di ½.

Si suppone che il coefficiente di Gini sia più sensibile al reddito delle classi medie che a quello degli estremi

Molto spesso si riporta il coefficiente di Gini senza descrivere le proporzioni dei quantili usati per le misure. Come per gli altri coefficienti di disuguaglianza, il coefficiente di Gini è influenzato dalla granularità delle misure. Per esempio, cinque quantili del 20% (bassa granularità) daranno un coefficiente di Gini più basso di 20 quantili del 5% ciascuno (alta granularità) presi dalla stessa distribuzione.

Come risultato di queste critiche, oltre o in competizione con il coefficiente di Gini sono utilizzate spesso misure di entropia (ad esempio gli indici Atkinson e Theil). Queste misure cercano di confrontare le distribuzioni delle risorse di giocatori intelligenti in un mercato con una distribuzione casuale con massima entropia, con quelle che sono ottenute considerando i giocatori come particelle non intelligenti che seguano le leggi della fisica statistica.

[modifica] Note

↑ E' da notare che l'indice utilizzato per gli Stati Uniti sia cambiato nel 1992, facendo crescere il coefficiente di circa 0.02. Confronti tra i periodi precedenti e successivi a questo cambiamento possono essere fuorvianti. (dati ottenuti da US Census Bureau.)

[modifica] Coefficiente di Gini ottimale

Nel loro study for the World Institute for Development Economics Research, Giovanni Andrea Cornia e Julius Court (2001) giungono a suggerire politiche per il raggiungimento della distibuzione ottimale di ricchezza. Gli autori raccomandano di ricercare la moderazione anche per quanto riguarda la distibuzione della ricchezza cercando di tenersi lontani dai casi estremi. Sia un egualitarismo eccessivo che una grande diseguaglianza condurrebbero a una crescita lenta. Un eccessivo egualitarismo porta a incentivi-trappola, speculazione, grandi costi di operazione e corruzione nel sistema di redistribuzione, che limiterebbe il potenziale di crescita del Paese. vedere la curva di crescita del coefficiente di Gini

D'altra parte, una iniquità estrema diminuirebbe anch'essa il potenziale di crescita distruggendo la coesione sociale, aumentando il malcontento pubblico e alimentando il conflitto sociale, e causando incertezze riguardo ai diritti di proprietà. Quindi la politica pubblica deve avere come obbiettivo un "intervallo di inegualità efficiente". Gli autori sostengono che questo intervallo di efficienza sia rappresentato da valori del coefficiente di Gini compreso tra .25 (iniquità tipica dei paesi Nord europei) e .40 (quello di Paesi come la Cina e gli USA). Il profilo preciso della relazione tra iniquità e crescita riportata nella tabella varia, naturalmente, cambiando Paese dipendendo dalle risorse investite, la storia del Paese, eventuali livelli di povertà assoluta ancora presenti, e la quantità di programmi sociali presenti, così come dipende dalla distribuzione dei capitali fisici ed umani nel territorio.

vedi: The Path to sustainable Growth - Lezioni da 20 anni di studi sui differenziali di crescita in Europa (pdf 4Mb)

[modifica] References

Dixon, PM, Weiner J., Mitchell-Olds T, Woodley R. Bootstrapping the Gini coefficient of inequality. Ecology 1987;68:1548-1551.
Gini C. "Variabilità e mutabilità" (1912) Ristampato in Memorie di metodologica statistica (Ed. Pizetti E, Salvemini, T). Roma: Libreria Eredi Virgilio Veschi (1955).
Gini, Corrado (1921). "Measurement of Inequality and Incomes". The Economic Journal 31: 124-126.
Xu, Kuan (January, 2004). "How Has the Literature on Gini's Index Evolved in the Past 80 Years?". Department of Economics, Dalhousie University. Retrieved on June 1, 2006.
Morgan, James (1962). "The Anatomy of Income Distribution". The Review of Economics and Statistics 44: 270-283.
Gastwirth, Joseph L. (1972). "The Estimation of the Lorenz Curve and Gini Index". The Review of Economics and Statistics 54: 306-316.
Sudhir Anand. Inequality and Poverty in Malaysia. New York, Oxford University Press, 1983.
S. R. Chakravarty. Ethical Social Index Numbers. New York, Springer-Verlag, 1990.
Dorfman, Robert (1979). "A Formula for the Gini Coefficient". The Review of Economics and Statistics 61: 146-149.
Mills, Jeffrey A.; Zandvakili, Sourushe (1997). "Statistical Inference via Bootstrapping for Measures of Inequality". Journal of Applied Econometrics 12: 133-150.
Brown, Malcolm (1994). "Using Gini-Style Indices to Evaluate the Spatial Patterns of Health Practitioners: Theoretical Considerations and an Application Based on Alberta Data". Social Science Medicine 38: 1243-1256.

[modifica] Voci correlate

lista degli Stati per uguaglianza di reddito
Indice di sviluppo umano
Welfare state
Variabile casuale paretiana

[modifica] Collegamenti esterni

Dipartimento per lo sviluppo umano delle Nazioni Unite Report del 2004, p50-53: coefficiente di Gini calcolato per tutti i Paesi.
[1] Confronto del valore del coefficiente di Gini per aree rurali ed urbane.
[2] World Income Inequality Database
[3], Articolo di Forbes In praise of inequality
mappa dei coefficienti di gini presa da WorldPolicy.org

Software:
- Calcolatore gratis online calcola il coefficiente di Gini, disegna la curva di Lorenz e calcola molte altre misure di concentrazione dei dati forniti.
- Calcolatore gratis: Online e script scaricabili (in Python e Lua) per il calcolo delle disuguaglianze di Atkinson, Gini, Hoover e Kullback-Leibler.
- Gli utenti del software di analisi dei dati R possono installare il pacchetto "ineq" che consente di calcolare una vasta gamma di indici di disuguaglianza come quelli di Gini, Atkinson e Theil.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../c/o/e/Coefficiente_di_Gini_b684.html"

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