Circumcerchio
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[modifica] Circumcerchio e circocentro
In geometria consideriamo una figura piana e l'insieme dei cerchi che la contengono. Ampliando una figura piana alla sua chiusura convessa l'insieme dei cerchi che la contengono non cambia (cioè non si riduce). Quindi hanno interesse primario solo i cerchi che contengono le figure piane convesse.
Per circumcerchio della figura piana F, ovvero per cerchio circoscritto ad F, si intende il cerchio più ridotto di quelli che contengono interamente F. Per ogni figura piana il cerchio circoscritto è unico. Il centro di questo cerchio si dice circocentro della figura F. Almeno due dei vertici di una figura piana appartengono alla circonferenza del suo circocerchio. Questo risulta particolarmente evidente nel caso di un rombo allungato.
[modifica] Poligoni ciclici
Un poligono con tutti i vertici giacenti sulla circonferenza del suo circumcerchio si dice poligono ciclico. Si dimostra facilmente che un poligono semplice è ciclico se e solo se gli assi dei suoi lati sono concorrenti, cioè appartengono ad uno stesso fascio che ha come punto comune il circocentro.
Quindi, per le proprietà del circocentro del triangolo, tutti i triangoli sono poligoni ciclici.
Anche tutti i poligoni semplici regolari sono poligoni ciclici: il loro circocentro è il loro centro di simmetria rotazionale.
Osserviamo che si possono considerare ciclici anche poligoni non semplici: un esempio piuttosto noto è dato dal pentagramma (geometria) inscritto in un pentagono regolare.
[modifica] Quadrilateri ciclici
Per questi poligoni si giunge ad una classificazione piuttosto chiara e non banale. Per chiarirla conviene fare riferimento a due bipartizioni dell'insieme dei quadrilateri: quella che distingue i trapezi dai non trapezi e quella che distingue l'insieme che denotiamo con D dei quadrilateri ciclici semplici che hanno due vertici opposti, chiamiamoli A e C, su un diametro del circumcerchio dall'insieme complementare DC
I trapezi ciclici sono esattamente quelli in cui gli assi dei due lati paralleli coincidono (lo chiamiamo a), cioè sono i trapezi isosceli: infatti gli assi degli altri due lati sono simmetrici rispetto ad a e quindi si intersecano in un punto di a. Tra i trapezi isosceli si trovano i rettangoli: questi sono i soli parallelogrammi ciclici, in quanto gli altri parallelogrammi hanno come assi dei lati due coppie di rette parallele non coincidenti. Tra i rettangoli vi sono i quadrati, gli unici rombi ciclici.
Tra i quadrilateri di D sono ciclici esattamente quelli che sono ottenuti come unione (accostamento con il diametro in comune) di due triangoli rettangoli; nel loro insieme si collocano i rettangoli, come i soli parallelogrammi in D; nell'insieme D si collocano anche gli aquiloni, i soli quadrilateri in D simmetrici rispetto alla diagonale. I quadrati sono sia rettangoli che aquiloni e sono i soli rombi in D.
Vi sono inoltre quadrilateri ciclici non trapezi e non appartenenti a D.
