Circonferenze ortogonali

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[modifica] Angolo tra due linee e linee ortogonali

Per angolo tra due linee che si incontrano in un punto, si intende il minore dei due angoli formati dalle rette tangenti alle due linee nel loro punto di intersezione.

Osserviamo che le due linee devono essere sufficientemente regolari in un intorno del punto di intersezione, in modo che in tale punto entrambe posseggano retta tangente. Osserviamo anche che le due linee possono appartenere ad un piano, ma possono anche essere definite nello spazio di tre (o più) dimensioni.

Si definisce coppia di linee ortogonali in un punto una coppia di linee che presentano un punto di intersezione le cui tangenti in tale punto formano un angolo retto. La relazione "costituire una coppia di linee ortogonali in un dato punto" è evidentemente una relazione simmetrica.

[modifica] Angoli fra due circonferenze

Consideriamo ora due circonferenze nel piano che hanno almeno un punto in comune. Si danno le seguenti possibilità:

1. le due circonferenze coincidono
2. le due circonferenze posseggono un punto in comune nel quale hanno in comune una tangente; in tal caso o il cerchio di una delle due è interno al cerchio dell'altra, o i due cerchi hanno in comune il solo punto di tangenza.
3. le due circonferenze presentano due punti di intersezione

Consideriamo il caso delle due circonferenze che presentano due punti di intersezione. Si osserva che in particolare in un punto esse possono costituire una coppia di circonferenze ortogonali.

Prop. L'angolo tra le due circonferenze in un loro punto di intersezione è congruente all'angolo nell'altro punto di intersezione.

Prop. Due circonferenze sono ortogonali se e solo se il raggio di una di esse passante per uno dei loro punti di intersezione è tangente all'altra circonferenza.

Prop. Due circonferenze sono ortogonali se e solo se il quadrato della distanza tra i loro centri è uguale alla somma dei quadrati dei loro raggi

Prop. Se due circonferenze sono ortogonali, il centro di ciascuna di esse è esterno al cerchio dell'altra circonferenza.

Prop. I punti di intersezione di due circonferenze ortogonali si possono ottenere intersecando una di esse con la circonferenza che ha per diametro il segmento che unisce i loro centri.

Prop. Date due circonferenze ortogonali di centri O e O' e raggi r e r', una retta passante per O e secante l'altro cerchio, lo interseca in due punti C e D tali che OC·OD = r². Viceversa, se una retta passante per il centro di una qualsiasi circonferenza interseca un'altra circonferenza in due punti che soddisfano la relazione precedente, le due circonferenze sono ortogonali

Concludiamo con due importanti teoremi riguardanti coppie di circonferenze ortogonali:

Prop. Data una circonferenza ∑ e due punti A e B non allineati con il suo centro, esiste una e una sola circonferenza passante per A e B ed ortogonale alla circonferenza data.

Prop. Data una circonferenza ∑ di centro O e una retta s secante ∑ e non passante per O, esiste una e una sola circonferenza ortogonale a ∑ e tangente a s in un suo punto A interno a ∑.