Birapporto

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il birapporto è una grandezza che si può associare a una quaterna di punti di una retta, a una quaterna di numeri complessi, a una quaterna di rette concorrenti o a una quaterna di punti appartenenti ad una conica. Si è scoperto che quando una di queste quaterne viene sottoposta a certi tipi di trasformazioni il suo birapporto non cambia, è un invariante. Più precisamente si tratta di un invariante rispetto a trasformazioni proiettive. In effetti il birapporto costituisce una caratterizzazione numerica di grande importanza nella geometria proiettiva ed è giustificata l'affermazione che il birapporto gioca per la geometria proiettiva il ruolo che la distanza tra punti gioca per la geometria euclidea.

Il birapporto viene chiamato anche rapporto anarmonico, termine coniato da Michel Chasles per una nozione nota prima delle sue ricerche geometriche. In inglese viene chiamato cross ratio.

Indice

1 Birapporto di una quaterna di punti allineati
2 Azioni delle permutazioni sul birapporto
3 Birapporto per punti e rette improprie
4 Birapporto di una quaterna di rette concorrenti
5 Birapporto e inversione circolare
6 Birapporto di una quaterna di punti su una conica
7 Collegamenti esterni

[modifica] Birapporto di una quaterna di punti allineati

Consideriamo una quaterna di punti allineati (A,B,C,D) e attribuiamo alla retta alla quale appartengono, provvisoriamente, una unità di misura e un orientamento. Si definisce come birapporto della quaterna di punti e si indica con la scrittura tradizionale (A B C D) o con brp(A,B,C,D), scrittura più vicina alle più usuali notazioni per le di funzioni, il rapporto di rapporti fornito dalla seguente espressione:

$(A\;B\;C\;D) := \mbox{brp}(A,B,C,D) := \frac{\frac{CA}{CB}}{\frac{DA}{DB}}$

dove AC, AD, BC, BD denotano le lunghezze (con segno) dei segmenti orientati.

Per questo birapporto si trovano subito le seguenti altre espressioni

$\mbox{brp}(A,B,C,D) := \frac{CA}{CB}\cdot \frac{DB}{DA} = \frac{CA\cdot DB}{CB\cdot DA}$

Si vede immediatamente che il segno del birapporto non dipende dall’orientamento della retta su cui si trovano i quattro punti: infatti se si cambia questo orientamento cambiano di segno tutti i 4 segmenti che contribuiscono al birapporto.

Si osserva poi che il birapporto non cambia se la retta sulla quale giacciono viene sottoposta ad una traslazione o ad una omotetia: in altre parole il birapporto di 4 punti sopra una retta è indipendente dalla scelta dell'origine e della unità di misura per la retta stessa.

Consideriamo alcuni casi particolari rappresentando i punti con le loro coordinate sulla retta.

$\mbox{brp}(0,1,2,3) = \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} = \frac{4}{3}$

$\mbox{brp}(0,2,1,3) = \frac{1\cdot 1}{-1\cdot 3} = -\frac{1}{3}$

Si osserva quindi che se A e B precedono o seguono C e D il birapporto ha segno positivo, mentre se si alternano esso ha segno negativo.

Si ha brp(A,B,C,D) = 0 se A=C oppure se B=D.

Si ha brp(A,B,C,D) tendente all'infinito se B tende a C oppure A tende a D.

Si ha brp(A,B,C,D) = 1 se A=B oppure se C=D.

Al di fuori di questi casi particolari i quattro punti sono distinti e brp(A,B,C,D) è un numero diverso da 0 e da 1.

Si vede anche che brp(A,B,C,D) non cambia se si scambiando fra loro due punti qualsiasi e contemporaneamente vengono scambiati anche gli altri due, cioè se si effettua un doppio scambio.

Si nota poi che brp(A,B,C,D) viene sostituito dal suo numero inverso se si scambiano tra loro A e B oppure C e D.

Nel caso particolare in cui brp(A,B,C,D) = -1, si ha

$\frac{CA}{CB} = - \frac{DA}{DB}$

Questa identità dice che i punti C e D dividono il segmento AB all'esterno o all'interno nello stesso rapporto; in questo caso si dice che i punti C e D dividono in modo armonico il segmento AB.

[modifica] Azioni delle permutazioni sul birapporto

I quattro punti dai quali dipende il birapporto possono essere sottoposti a 4! = 24 permutazioni. In conseguenza di queste trasformazioni il valore del birapporto subisce modifiche specifiche.

Si è osservato che il birapporto non varia se sugli argomenti si opera un doppio scambio. Di conseguenza se si trova che una permutazione di argomenti conduce ad un nuovo valore del birapporto, ve ne saranno altre tre che portano allo stesso valore. Ci si aspetta che la tavola dei valori dei birapporti ottenuti per permutazioni presenti 6 = 24/4 raggruppamenti ciascuno con 4 valori coincidenti.

Proposizione 1. Le permutazioni degli argomenti di un birapporto hanno le seguenti conseguenze:

$(1)\quad \mbox{brp}(A,B,C,D) = \mbox{brp}(B,A,D,C) = \mbox{brp}(C,D,A,B) = \mbox{brp}(D,C,B,A) \,=\, k$

$(2)\quad \mbox{brp}(A,B,D,C) = \mbox{brp}(C,D,B,A) = \mbox{brp}(B,A,C,D)= \mbox{brp}(D,C,A,B) = \frac{1}{k}$

$(3)\quad \mbox{brp}(A,C,B,D) = \mbox{brp}(D,B,C,A) = \mbox{brp}(C,A,D,B) = \mbox{brp}(B,D,A,C) \,=\, 1-k$

$(4)\quad \mbox{brp}(A,D,B,C) = \mbox{brp}(C,B,D,A) = \mbox{brp}(D,A,C,B) = \mbox{brp}(B,C,A,D) = \frac{k-1}k$

$(5)\quad \mbox{brp}(A,D,C,B) = \mbox{brp}(B,C,D,A) = \mbox{brp}(D,A,B,C) = \mbox{brp}(C,B,A,D) = \frac k{k-1}$

$(6)\quad \mbox{brp}(A,C,D,B) = \mbox{brp}(B,D,C,A) = \mbox{brp}(C,A,D,B) = \mbox{brp}(D,B,A,C) = \frac 1{1-k}$

Dimostrazione Le uguaglianze (1) esprimono la ricordata invarianza per doppio scambio.

Le uguaglianze (2) esprimono il fatto già notato che il birapporto si trasforma nel suo reciproco se si scambiano i primi due argomenti, oppure gli ultimi due; naturalmente si ha questa trasformazione anche se si effettua uno dei precedenti scambi seguito o preceduto da un doppio scambio.

Per le uguaglianze (3) basta dimostrare che $\, \mbox{brp}(A,C,B,D)=1-k \,$ :

$\mbox{brp}(A,C,B,D) = \frac{AB\cdot CD}{CB\cdot AD} = \frac{(AC+CB)\cdot(CB+BD)}{CB\cdot AD} =$

$\frac{AC\cdot BD}{CB\cdot AD} + \frac{AC\cdot CB+CB\cdot CB+CB\cdot BD}{CB\cdot AD} =$

$-\frac{AC\cdot BD}{BC\cdot AD} + \frac{AC+CB+BD}{AD} -k+1$ .

Si ottengono le (4) scambiando il secondo e il terzo argomento di $\,\mbox{brp}(A,B,D,C) = \frac 1k\,$ ottenendo

$\,\mbox{brp}(A,D,B,C) = 1 - \frac 1k = \frac {k-1}k\,$

Si ottengono le (5) scambiando gli ultimi due argomenti del birapporto precedente:

$\,\mbox{brp}(A,D,C,B) = \frac {1}{\frac{k-1}{k}} = \frac k{k-1}\,$ .

Si ottengono le (6) scambiando il secondo e il terzo argomento del birapporto precedente:

$\,\mbox{brp}(A,C,D,B) = 1 - \frac k{k-1} = \frac {k-1-k}{k-1} = \frac 1{1-k} \,$ .

Quindi i 24 birapporti corrispondenti a quattro punti su una retta posseggono soltanto sei valori differenti interdipendenti.

QED

Esempio

Consideriamo quattro punti fissi A,B,C e D tali che brp(A B C D) = 2, dove i segmenti hanno le seguenti misure :

AC = 4; BC = 1; AD = 6; BD = 3.

Verifichiamo allora che scambiando ambedue le coppie il birapporto non varia. Si ottiene quindi:

$\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{AC/BC}{AD/BD} = \frac{4/1}{6/3} =2$

$\mbox{brp}(B,A,D,C) = \frac{BD/AD}{BC/AC} = \frac{3/6}{1/4} = 2$

$\mbox{brp}(C,D,A,B) = \frac{CA/DA}{CB/DB} = \frac{-4/-6}{-1/-3} = 2$

$\mbox{brp}(D,C,B,A) = \frac{DB/CB}{DA/CA} = \frac{3/1}{6/4} = 2$

Ponendo infine brp(A B C D) = k, e calcolando gli altri birapporto si ottiene che:

$\mbox{brp}(A,B,C,D) \,=\, 2 = k$

$\mbox{brp}(A,B,D,C) = \frac{AD/BD}{AC/BC} = \frac{1}{2} = \frac{1}{k}$

$\mbox{brp}(A,C,D,B) = \frac{AD/CD}{AB/CB} = -1 = \frac{1}{1-k}$

$\mbox{brp}(A,C,B,D) = \frac{AB/CB}{AD/CD} = -1 = 1-k$

$\mbox{brp}(A,D,B,C) = \frac{AB/DB}{AC/DC} = \frac{1}{2} = \frac{k-1}{k}$

[modifica] Birapporto per punti e rette improprie

La nozione di birapporto attiene alla geometria proiettiva ed in effetti può applicarsi anche a punti e rette improprie, cioè ad oggetti geometrici che in geometria proiettiva possono essere trattati alla stessa stregua degli oggetti geometrici più usuali.

Quando il fascio cui appartengono le quattro rette a, b, c e d ha centro improprio, cioè quando queste rette sono parallele, l'invarianza del birapporto al variare della retta r discende semplicemente dal teorema di Talete applicabile ai singoli rapporti $\frac{CA}{CB}$ e $\frac{DB}{DA}$ .

Si può fare la seguente osservazione: se due rette sono incidenti in un punto P, ruotando gradualmente una delle due in modo da renderla parallela rispetto alla seconda, si osserva che il punto di incidenza si allontana a poco a poco e tende all’infinito. Un punto all’infinito, quindi, può anche essere considerato come punto “improprio” di intersezione tra due rette parallele. Una prima importante convenzione da assumere per i punti impropri è l’unicità per ogni retta, vale a dire ogni retta possiede un solo punto all’infinito in comune con tutte le rette ad essa parallela; con questa convenzione si può affermare che in geometria proiettiva due rette sono sempre incidenti in un punto, proprio o improprio. Nel caso finito, descritto dalla figura seguente, sappiamo che il birapporto è dato da: $\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{CA/CB}{DA/DB}$

Supponendo che il punto D sia libero di muoversi sulla retta r e che possa spostarsi indefinitamente sulla destra; è ovvio chiedersi cosa succede al birapporto in questo caso; si osserva subito che il rapporto DA/DB, per D che tende all’infinito tende ad 1, per cui si può scrivere

$\mbox{brp}(A,B,C,\infty) = \lim_{D \to \infty}\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{CA}{CB}$ .

Similmente si ottiene

$\mbox{brp}(A,B,\infty,D) = \lim_{C \to \infty}\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{DB}{DA}$ .

$\mbox{brp}(A,\infty,C,D) = \lim_{B \to \infty}\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{CA}{DA}$ .

$\mbox{brp}(\infty,B,C,D) = \lim_{A \to \infty}\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{DB}{CB}$ .

[modifica] Birapporto di una quaterna di rette concorrenti

Consideriamo una quaterna (a, b, c, d) di rette appartenenti ad uno stesso fascio di rette complanari il cui centro denotiamo con O ed una quinta retta r non passante per O. Assumiamo che le quattro rette siano distinte e che r non sia parallela ad alcuna di esse. Dunque la retta r interseca ciascuna delle rette a, b, c e d: denotiamo rispettivamente con A, B, C e D i punti di queste intersezioni. Consideriamo una sesta retta r' anch'essa non passante per O e non parallela ad alcuna delle rette della quaterna: denotiamo allora con A', B', C' e D' rispettivamente i punti di intersezione con r' delle rette della quaterna (a, b, c, d).

Esaminando i valori dei birapporti delle due quaterne di punti, brp(A,B,C,D) e brp(A',B',C',D') si osserva il fatto, piuttosto sorprendente, che essi coincidono.

Proposizione 2. $brp(A, B, C, D) = brp(A', B', C', D')$ . In altre parole il birapporto ottenuto per intersezione di una quaterna di rette concorrenti con una retta non concorrente non dipende da tale retta.

Dimostrazione Ci serviamo di proprietà metriche di figure associate ai birapporti per dimostrare che la funzione

$\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{CA}{CB} \cdot \frac{DB}{DA}$

si può esprimere mediante grandezze angolari riguardanti le rette della quaterna, senza coinvolgere la retta r. Per questo consideriamo le aree (con segno) dei 4 triangoli aventi un vertice in O e un lato costituito uno dei quattro segmenti che contribuiscono al birapporto. Ciascuna di queste aree viene espressa in due modi: (1) come semiprodotto della distanza h del vertice O dalla retta r per la lunghezza del segmento caratterizzante, (2) come prodotto delle lunghezze dei lati con estremità in O per il seno dell'angolo in O (teorema del seno).

$\mbox{Area}(OCA) = \frac{1}{2} h\cdot CA = \frac{1}{2} OA\cdot OC\cdot \sin COA$

$\mbox{Area}(OCB) = \frac{1}{2} h\cdot CB = \frac{1}{2} OB\cdot OC\cdot \sin COB$

$\mbox{Area}(ODA) = \frac{1}{2} h\cdot DA = \frac{1}{2} OA\cdot OD\cdot \sin DOA$

$\mbox{Area}(ODB) = \frac{1}{2} h\cdot DB = \frac{1}{2} OB\cdot OD\cdot \sin DOB$

Le prime espressioni consentono di esprimere il birapporto come rapporto di aree di triangoli:

$\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{\mbox{Area}(OCA)\cdot \mbox{Area}(ODB)}{\mbox{Area}(OCB)\cdot \mbox{Area}(ODA)}$

Mediante le seconde espressioni si ottiene l'espressione angolare annunciata:

$\mbox{brp}(A,B,C,D) = \frac{OA\cdot OC\cdot \sin COA \cdot OB\cdot OD \cdot \sin DOB}{OB\cdot OC\cdot \sin COB \cdot OA\cdot OD \cdot \sin DOA}$

$\qquad \qquad = \frac{\sin COA \cdot \sin DOB}{\sin COB \cdot \sin DOA}$

QED

Questa proprietà di invarianza rende lecito attribuire il birapporto alla quaterna delle rette concorrenti.

[modifica] Birapporto e inversione circolare

Si dimostra che il birapporto di quattro punti è invariante per inversione circolare.

[modifica] Birapporto di una quaterna di punti su una conica

La definizione di biraporto può essere estesa, con opportune modifiche, a quaterne di punti complanari non allineati, quali le quaterne di punti appartenenti ad una conica. In quest’ultimo caso il birapporto di quattro punti di una conica è definito come il birapporto delle quattro rette che proiettano i punti dati da un punto qualsiasi della conica.

Nel caso di una circonferenza si può dimostrare che il valore del birapporto di quattro punti appartenenti ad essa coincide, a meno del segno, con il valore che si ottiene dalla definizione del birapporto di quattro punti allineati nella quale i segmenti sono corde di circonferenza. Nella situazione descritta dal modello di Poincaré si ha identità anche nel segno.

[modifica] Collegamenti esterni

Cross-Ratio in Interactive Mathematics
Pascal's Mystic Hexagram di Kevin /Brown in Math pages
Java Applet demonstrating the invariance of the cross ratio unter a bilinear transformation

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../b/i/r/Birapporto.html"

Categoria: Geometria proiettiva