Angolo solido

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In geometria, Angolo solido, detto anche Angoloide poliedrico o Angoloide è l'analogo tridimensionale dell'angolo piano. Anziché due linee che si incontrano in un vertice, l'angolo solido è definito come tre o più piani che convergono in un punto. Se si hanno infiniti piani si crea un cono, un altro semplice esempio è fornito dal vertice della piramide. L'area della superfice della sfera compresa tra i piani è l'angolo solido. L'unità di misura nel Sistema Internazionale è lo steradiante.

Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.

Un angolo sferico è un particolare angolo compreso tra due intersezioni di archi su una sfera, ed è misurato attraverso l'angolo compreso tra i piani contenenti gli archi ed il centro della sfera.

[modifica] Misura dell'angolo solido

Angolo solido W sotteso in una sfera di raggio R

Il caso più semplice è quello di una superficie sferica. In questo caso l'angolo solido sotteso da un sottoinsieme della superficie sferica rispetto al suo centro è dato dal rapporto tra l'area del sottoinsieme e il quadrato del raggio della sfera. In tal modo l'angolo solido sotteso dalla superficie sferica è pari a 4π. Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π)², ovvero per 3282.8 (circa). Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.

Per calcolare l'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto ad un punto, si consideri una sfera centrata in quel punto e la proiezione della superficie da misurare sulla superficie sferica. L'angolo solido della superficie da misurare è pari all'angolo solido della sua proiezione sulla superficie sferica.

[modifica] Esempi

Nel caso di un cono di apertura α, l'angolo solido Ω rispetto al vertice è pari a:

$\Omega = 2 \pi \cdot(1 - \cos \alpha)$ .

Un algoritmo efficiente per calcolare l'angolo solido sotteso ad un triangolo di vertici R1, R2 e R3 e visto dall'origine, ovvero che forma una piramide, è stato formulato da Oosterom e Strackee:

$\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{[ {\mathbf R}_{1}{\mathbf R}_{2}{\mathbf R}_{3}]}{ R_{1}R_{2}R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{2})R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{2} + ( {\mathbf R}_{2} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{1}}$