Szinusztétel

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Jelölések a háromszögben

A szinusztétel egy geometriai tétel, miszerint egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. Tehát

$\frac{a}{b} \ = \ \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$

vagy (ritkábban)

$a\,:\,b\,:\,c \;=\; \sin\,\alpha\;:\;\sin\,\beta\;:\;\sin\,\gamma$

A szinusztétellel ekvivalens az az állítás, miszerint bármely háromszögben egy oldal hosszának és a szemközti szög szinuszának aránya állandó (tehát ez az arány független attól, hogy melyik oldalra és vele szemközti szögre írjuk fel). Ez az állandó nem más, mint az adott háromszög körülírt köre átmérőjének reciproka:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1{2R}$

ahol R a körülírt kör sugara.

[szerkesztés] Bizonyítás

A szokásos jelöléssel élve (lásd az ábrát) legyen T a c oldalhoz tartozó magasság talppontja (a c oldal és a hozzá tartozó magasságvonal metszete) és legyen a CT magasságszakasz hossza m. Ekkor az ATC illetve a CTB derékszögű háromszögben felírva az α illetve a β szög szinuszát kapjuk, hogy

$\sin\alpha=\frac{m}{b}$ és $\sin\beta=\frac{m}{a}$

Ezt a két egyenletet elosztva egymással kapjuk, hogy

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\;\cfrac{m}{b}\;}{\cfrac{m}{a}}=\frac{m}{b}\cdot\frac{a}{m}=\frac{a}{b}$

A kicsit többet mondó, a körülírt kör sugarát tartalmazó állítás bizonyítása pedig: a körülírt kör O középpontját véve, az OBC háromszög egyenlőszárú lesz, hisz OB = OC = R; s ezért ennek O ponthoz tartozó magasságavonala (egyébként ez a BC = a oldal felezőmerőlegese) felezi az a oldalt. Legyen az a = BC oldal felezőpontja F, ekkor az OFC háromszög derékszögű (hisz elmondtuk, hogy OF merőleges BC = a-ra); és O-nál lévő szöge a jelen állítástól függetlenül bizonyítható kerületi és középponti szögek tételéből adódóan α. Felírva ebben a háromszögben e szög szinuszát: sin(α) = FC\OC = (a\2)\R = a\2R. Ebből már adódik, hogy ezt a mennyiséget a-val osztva, épp 1\2R-t kell kapnunk. Eredményünket az a oldal megválasztásától függetlenül kaptuk, tehát érvényes a b, c oldalakra is. QED.

[szerkesztés] Alkalmazások

A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából – két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül – meghatározhatjuk a hiányzó negyediket.