Számtani sorozat

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul.

Tartalomjegyzék

1 Definíció
2 Elnevezések
3 Tulajdonságok
4 Példák
5 A számtani sorozat n-edik eleme
6 Számtani sorozat első n tagjának összege
7 Érdekesség
8 Források

[szerkesztés] Definíció

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

a n - a n - 1 = d

, ha

n > 1

$a_1, a_2, a_3 \dots a_n, a_{n+1} \dots$ akkor és csak akkor számtani sorozat, ha $a n + 1 - a n = d$ állandó, $\forall n \in N^+$ -ra.

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

$a_{n+1}=a_n+d, \forall n \in N^+$

[szerkesztés] Elnevezések

A sorozat különbségét differenciának nevezzük, szokásos jelölése: d.

[szerkesztés] Tulajdonságok

A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha $d > 0$
A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha $d < 0$
A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha $d = 0$

[szerkesztés] Példák

első tag	különbség	a sorozat pár tagja
0	1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
0	2	0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
1	2	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
101	-20	101, 81, 61, 41, 21, 1, -21, ...
- 2,1	-1,01	-3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16;

Legyen az $a$ számtani sorozatban: $a 1 = 3$ , a differencia: $d = 3$ , akkor a sorozat: 3; 6; 9; 12; …

[szerkesztés] A számtani sorozat n-edik eleme

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

$a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ .

Ha $n > i$ , akkor

$a_n=\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}$ .

Ez speciálisan $i = 1$ esetén azt jelenti, hogy a számtani sorozat egy eleme a két szomszédos tag számtani közepe.

[szerkesztés] Számtani sorozat első n tagjának összege

A sorozat első n tagjának összegét a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1$ . Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen $a 1 + a n$ . Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen $(a_1+a_n) \cdot n$ . De ez az általunk keresett összeg kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

$\frac{(a_1+a_n) \cdot n}2$

Ha még azt is felhasználjuk, hogy $a n = a 1 + (n - 1) d$ , akkor

$\frac{(2a_1+(n-1)d) \cdot n}2$

Ezt a képletet alkalmazva $a 1 = 1$ és $d = 1$ esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz $\frac{(n+1)\cdot n}2$ -t.

[szerkesztés] Érdekesség

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr.e. 1750-ből való.

Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, stb., ami összesen $50\cdot 101 = 5050$ -et eredményez (lásd a számtani sorozatokat és az összegzést). Több információ a témában itt található:[1]. ¹