Reláció

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A reláció dolgok viszonyát jelenti; és hasonló jelentéssel bír a matematikában is. A köznapi életben és a matematikában is egy nagyon általános (ezzel összefüggésben, elvont) fogalom, de a matematikában nem számít alapfogalomnak, lehetséges definiálni (ld.: lentebb.

A fogalom ismertebb, egyszerűbb példái: a halmazok körében az elemként való tartalmazás (.∈.) vagy a részhalmazként való tartalmazás (.⊆.); az egész számok körében az oszthatóság, a geometriában az egyenesek párhuzamossága vagy merőlegessége.

Látható, hogy már az általános- és középiskolai képzésben is találkozunk nagyon sok relációval, ugyanakkor a pontos definícióját nem tanuljuk. A precíz matematikai definíció általában a halmazelméletre épít, ebből is látható, hogy a matematika tudományában is igen későn került megfogalmazásra ez a fogalom.

[szerkesztés] Meghatározásai

A reláció alapvető fogalom a matematikában, de nem alapfogalom. Lehetséges a meghatározása más alapfogalmakra hagyatkozva. Ezáltal egy olyan reláció-fogalmat kapunk, amely nem feltétlenül felel meg mindenben a köznapi relációfogalomnak, de a matematikai szempontból hasznos, fontos tulajdonságokat a tudományos céloknak megfelelően tükrözi; tehát a köznapi relációfogalom egy modellje adódik.

A köznapinál tudományosabb definíciónak a matematikatörténetben két fontosabb paradigmája alakult ki, az ősibb, logikai modell és az újabb, a huszadik század matematikájában teljesen egyeduralkodóvá vált strukturalista, halmazelméleti modell.

[szerkesztés] Tradicionális, logikai modell

Fő szócikk: Reláció (logika)

[szerkesztés] A halmazelméleti definíció

[szerkesztés] 1. definíció

Egy, az X₁, X₂, ..., X_n (alap)halmazokon (v. még: „felettük”) értelmezett n-változós, avagy n-áris reláció a következő n+1 elemű rendezett n-es:

ρ = (X₁, X₂, ... , X_n, R)

ahol

R⊆X₁×X₂×...×X_n

tehát R a halmazok direkt szorzatának egy részhalmaza. Hogy melyik részhalmaza, az szabja meg a reláció mibenlétét.

Az R részhalmazt a reláció gráfjának (grafikonjának) is nevezzük, és szokás graph(ρ)-val jelölni.

[szerkesztés] 2. definíció

Az előzőtől annyiban tér el, hogy ρ := R. Azaz egy n-változós reláció legyen az alaphalmazai adott sorrendben vett direkt szorzatának részhalmaza. Ez az, amit előzőleg a reláció grafikonjának neveztünk.

E definíció fontos tulajdonsága a fentivel szemben, nagyobb egyszerűsége, sőt nagyobb elvontsága (mivel két, az 1. definíció szerint különböző reláció a 2. definíció szerint azonos lehet; a reláció mibenlétét tekintve, „megfeledkezünk” az alaphalmazokról). Viszont pl. e felépítésben értelmetlenné válik egy igen fontos matematikai fogalom, a „szürjektív függvény” fogalma. Igaz, ez a probléma könnyen kiküszöbölhető.

[szerkesztés] 3. definíció

Egy halmazt relációnak nevezünk, ha minden eleme rendezett n-es.

E definíció rendelkezik a 2. definíció minden már említett előnyével és hátrányával. További hátránya, hogy az „értelmezési tartomány” és „értékkészlet” meghatározása nehézkesebbé válik, az axiomatikus halmazelméletben való nagyobb jártasságot igényel az előzőhöz képest.

[szerkesztés] A definíciók értelmezése

Az $A\times A$ Decartes-szorzatra tekinthetünk úgy, mint az olyan lehetséges elempárok felsorolására (halmazára), mely elempárok első és második eleme is az $A$ halmazból kerül ki. Ha ezen összes lehetséges elempárok közül kiválasztjuk azokat, melyek az általunk meghatározni kívánt relációnak elemei, akkor egyértelműen meghatároztuk $A\times A$ egy részhalmazát. Ebből láthatjuk, hogy az $A\times A$ részhalmazai és az $A$ hamaz elemei közötti relációk lényegében megegyeznek.

[szerkesztés] Néhány példa

[szerkesztés] Matematikán kívüli

A Harap utca 3. alatt élő kutyafalka jelenleg 7 tagot számlál: Anzelm (A), Barbár (B), Cézár (C), Dézi (D), Edina (E), Farkas (F) és Gina (G). A az apja, E az anyja B-nek és F-nek, míg B az apja, D az anyja C-nek és G-nek. Az X = {A,B,C,D,E,F,G} alaphalmazon értelmezhető a homogén bináris „... apja ...-nak” reláció, mely a következő párokra igaz: Anzelm és Barbár (A,B), Anzelm és Farkas (A,F); Barbár és Cézár (B,C); Barbár és Gina (B,G). Tehát az „apja” apasági reláció - a 2. halmazelméleti definíció szerint - a következő elempárok halmaza: R= {(A,B); (A,F); (B,C); (B,G)}. Az halmazelméleti definíció szerint ugyanez a reláció a következő elemhármas: (A, A, R), ahol R az előző R halmaz.
1. Az értelmezési tartomány bármely definíció elfogadása esetén is {A,B}, az értékkészlet (B,F,C,G). A
Legyen V valamely város lakosainak halmaza, és tekintsük az „... és ... ismerik egymást” kijelentéssel leírt relációt. Akkor ez a reláció halmazelméletileg V×V azon (u,v) elempárjainak S halmaza, ahol u-ra és v-re igaz a fenti kijelentés. A másik definíció szerint ugyane reláció "valójában" a (V, V, S) elemhármas.

[szerkesztés] Matematikai

Ha a természetes számok halmazán értelmezett kisebb relációt ( $<$ ) szeretnénk definiálni, akkor vennünk kell a természetes számok halmazának ( $\Bbb N$ ) önmagával vett Decartes-szorzatát ( $\Bbb N \times \Bbb N$ ) - ami az összes természetes számpárt tartalmazó halmaz - s ennek elemei közül ki kell választani azokat, melyekre teljesül, hogy az első elem kisebb, mint a második ( $(1,0),(2,1),(2,0),(3,2),(3,1),(3,0),...,(n, n - 1),(n, n - 2),...,(n,0),...$ és így tovább) s ezzel meg is határoztuk $\Bbb N \times \Bbb N$ azon kérdéses részhalamzát, mely a kisebb relációt definiálja.

A definíciónak gráfelméleti vonatkozása is van.

Jelölési konvenció: amennyiben teljes általánosságban akarunk relációkról beszélni, általában $ρ$ -val (görög "ró" betű) jelöljük a relációt, azt pedig, hogy $a$ és $b$ elemek $ρ$ relációban állnak a következő módon: $a ρ b$ vagy $(a,b)\in \rho$ .

[szerkesztés] Halmazműveletek relációkkal

A relációk - ha elfogadjuk azt a definíciót, hogy bizonyos halmazok direkt szorzatainak részhalmazai - maguk is halmazok, tehát velük halmazműveletek végezhetőek.

[szerkesztés] Speciális relációk

A relációk tulajdonságai

Reflexivitás - Szimmetria - Antiszimmetria - Aszimmetria - Tranzitivitás - Dichotómia - Trichotómia - Egyértelműség - Totalitás vagy teljesség

Speciális relációk

Egységreláció --- Univerzális reláció --- Ekvivalenciareláció --- Rendezési reláció --- Kongruenciareláció

Műveletek relációkkal

Relációk szorzata --- reláció inverze

[szerkesztés] Hivatkozások

Maurer Gyula–Virág Imre: Bevezetés a struktúrák elméletébe. Dacia könyvkiadó, Kolozsvár/Cluj-Napoca, 1976.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Szakadát István: Reláció, szintaktika, szemantika . BME-jegyzet.
Komjáth Péter: A matematika alapjai I. Halmazelmélet. PDF.

A lap eredeti címe "http://hu.wikipedia.org../../../r/e/l/Rel%C3%A1ci%C3%B3.html"

Kategóriák: Matematika | Halmazelmélet | Logika