Raymond Smullyan

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Raymond Merrill Smullyan (szül.:1919) matematikus, logikus és bűvész.

Smullyan Far Rockaway-ben (New York állam) született az Egyesült Államokban. Első kenyérkereső foglalkozása: színpadi bűvész. Később, 1955-ben Chicagoban szerzett BS (Bachelor of Sciences) fokozatot, majd 1959-ben Ph.D fokozatot a Princetonon. Egyike Alonzo Church kiemelkedő képességű tanítványainak.

[szerkesztés] Munkássága

Még Ph.D. hallgató korában, 1957-ben megjelent egy fontos cikke a Journal of Symbolic Logic-ban. Ebben a munkában megmutatja, hogy Gödel formális rendszerekre vonatkozó nemteljességi tétele lényegesen elemibb módon is interpretálható, mint, ahogy azt Gödel eredetei, 1931-es, korszakalkotó publikációja sugallja. Smullyan később meggyőzően érvelt amellett, hogy a Gödel nemteljességi tételeivel kapcsolatos lelkesedésnek inkább a lényegesen könnyebben bizonyítható és filozófiai szempontból éppoly megrázó Tarski tétel felé kellene irányulnia. Smullyan a logika korlátaival kapcsolatos elmélkedéseinek betetőzése a tárgy mélységéhez és komolyságához képest igencsak olvasmányos műve:

"Gödel's Incompleteness Theorems " in: Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell, 2001. Magyarul olvasható a Gödel nemteljességi tételei c. könyv. (Typotex Kiadó, Budapest, 1999.)

[szerkesztés] A lovagok és lókötők világa

Smullyan a szerzője egy sor szórakoztató matematikai műnek, melyek közül a leghíresebb a "Mi a címe ennek a könyvnek?" (TYPOTEX Kiadó, 1966, ford: Török Judit).

Smullyan logikai feladványai általában klasszikus problémák kiterjesztései. Például a hazudós lókötőkkel és az igazmondó lovagokkal kapcsolatos problémák a közismert "két őr és a két kapu" probléma sokatmondó változatai. Az egyik őr (lókötő) mindig hazudik, a másik (lovag) mindig igazat mond; az egyik kapu a Mennyországba, a másik kapu a Pokolba vezet. A feladat az, hogy egy kérdést feltéve az egyik őrnek találjuk meg a Mennyországba vezető kaput. A megoldás a következő kérdés, amelyet bármelyik őrhöz intézzünk is a válasz helyes lesz: "Melyik kapura mondaná a társad, hogy a Pokolba vezet?"

Bonyolultabb feladványokban Smullyan újabb szereplőket vonultat fel, pl. olyanokat, akik lehet, hogy hazudnak, lehet, hogy igazat mondanak (ezek a "normálisak") és, hogy még bonyolultabb legyen a dolog az olvasó által ismeretlen szavakat használnak a "nem" és az "igen" kifejezésére. Az "erdélyi" feladatokban a lakosság fele bolond, ők csak hamis kijelentésekben hisznek, a lakosság másik része épelméjű, ők csak igaz dolgokban hisznek. Továbbá, az erdélyi "emberi lények" mindig igazat mondanak, a vámpírok pedig mindig hazudnak. Például egy bolond vámpír hamis dolgokban hisz: "2 meg 2 nem 4!", de hazudik és azt mondja "4!". Egy épelméjű vámpír komolyan hiszi, hogy "2 meg 2 az 4", de azt hazudja, hogy "nem 4".

[szerkesztés] Smullyan és a gödeli nemteljességi tételkör

De maradjunk a lovagok és a lókötők példájánál!

Smullyan leglátványosabb eredményeit a nemteljességi tételkörnek a mindennapi gondolkodás szintjén való teljesértékű megjelenítése területén érte el. Megközelítésének lényege, hogy „formális rendszer” helyett „józan érvelőről” a rendszeren belül bizonyított állítás helyett pedig arról beszél, hogy „a józan érvelő elhiszi” az adott állítást. Felteszi, hogy egy józan érvelő nem képes hamis állításban hinni és azt is, hogy egy állítás vagy igaz vagy hamis. Bemutatja, hogy ebből a két természetes feltevésből olyan igaz állítások létezése következik, melyekben DE ellenkezőjükben SEM képes a józan érvelő hinni. A már említett Gödel nemteljességi tételei c. könyv 142. oldalán a következő feladatot tűzi ki Smullyan:

Megérkezik a lovagok és a lókötők szigetére a józan érvelő és találkozik egy benszülöttel, akiről nem tudja, hogy lovag-e vagy lókötő. A bennnszülött egy olyan állítással lepi meg a józan érvelőt, amelyben a józan érvelő nem hihet, de, mint kiderül annak az ellenkezőjében sem. Találjunk ilyen állítást!

Egy megoldás: „Soha nem fogod elhinni, hogy lovag vagyok.”

Valóban, ha ezt egy lókötő mondta, akkor ez az állítás hamis. Ha hamis ez az állítás, akkor a józan érvelő hinni fog abban, hogy lovaggal beszélt. Ez pedig nem igaz (mint feltettük) ilyesmit pedig a józan érvelő nem hihet el. Ha a fenti állítás egy lovag szájából hangzott el, akkor igaz, vagyis a józan érvelő soha nem fogja elhinni, hogy lovaggal beszélt; ami pedig igaz. Vagyis a józan érvelő képtelen hinni egy igaz állításban. Vegyük észre, hogy ez nem egy szokásos paradoxon. Nem arról van szó, hogy mindkét esetben ellentmondásra jutottunk. Csak arról van szó, hogy beláttuk, hiába volt igaz az állítás nem tudtunk hinni benne. Ez mindennapi dolog. A meglepő az, hogy ez logikai szükségszerűséggel történt.

Az igazság és az, hogy feltétlenül és automatikusan hiszünk benne nem azonos valamik tehát. Ennek feltétele két dolog volt a példa szerint: (1) hamisságban nem hiszünk, (2) egy állítás vagy igaz vagy hamis.

Ha „józan érvelő” helyett most olyan rendszerre gondolunk, amelyben bizonyítani lehet állításokat és, amelyben nem lehet hamis állítást bizonyítani és amely olyan álltásokat tartamlmaz, amelyek vagy igazak, vagy hamisak, akkor az ilyen rendszer „nem teljes” abban az értelemben, hogy megfogalmazhatók benne olyan állítások, amelyek igazak mégsem bizonyíthatók, de az ellenkezőjük sem bizonyítható. Ezért nem teljes egy ilyen rendszer; nem lehet benne bizonyítani minden igaz állítást, amit megfogalmazni azért lehet benne.

Ez valóban nagy csapás volt a huszadik század első évtizedeiben elbizakodott matematikára és filozófiára. E tudományterületek művelői ugyanis az igazság fogalmát a bizonyíthatóság fogalmában vélték felfedezni és formalizálhatni. Ezzel tulajdonképpen egy több mint kétezer éves küzdelem látszott eldőlni az ember javára. Csak az axiómák precíz, szakterületenkénti megfogalmazása és felsorolására, valamint a helyes következtetási szabályok formális lefektetése látszott szükségesnek. Ez volt Hilbert programja és ez volt Russell és Whitehead monumentális művének a Principia Mathematicának a célkitűzése is. Elsőkként Gödel, Church és Tarski bizonyították, hogy ezek a célok elérhetetlenek. Smullyan sokban hozzájárult ezekhez az ereményekhez és lefordította (talán inkább visszafordította) a leglényegesebb állításokat a hétköznapi gondolkodás nyelvére.

Smullyan valóban nagy bűvész.