Ló-paradoxon

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A ló-paradoxon a minden ló azonos színű állítás (téves) bizonyításán alapul (nem tévesztendő össze az analitikus filozófia ún. lóproblémájával, mely Gottlob Frege és Bano Kerry egy vitájában került elő).

[szerkesztés] A bizonyítás

A bizonyításban a matematikában jól ismert teljes indukció módszerét alkalmazzuk. Alapesetként belátjuk, hogy egy egyetlen lóból álló ménesre (halmazra) nyilvánvalóan igaz, hogy abban minden ló azonos színű, hiszen csak egyetlen ló van, annak a színe a saját magával megegyezik.

Most tegyük fel, hogy az állítás igaz tetszőleges, legfeljebb n lóból álló ménesre, és tekintsünk egy n+1 lóból álló ménest. Ha ebből kiveszünk egy lovat, egy n lóból álló ménest kapunk, amelyben a feltételezésnek megfelelően már minden ló ugyanolyan színű. Már csak azt kell megmutatni, hogy a kivett ló is ugyanilyen színű. Ezt a következőképpen tesszük: tegyük vissza a kiválasztott lovat a többi közé, vegyünk ki egy másikat, és újra alkalmazzuk az indukciós szabályt: az így kapott ménesben is ugyanolyan színű minden ló, beleértve az eredetileg kiválasztott lovat is, amelynek tehát ugyanolyan színűnek kell lennie, mint az összes többinek. Ezzel beláttuk, hogy tetszőleges n+1 lóból álló ménesben is minden ló ugyanolyan színű. A teljes indukció elvének megfelelően ezzel beláttuk az eredeti állításunkat: minden ló ugyanolyan színű.

Kis gondolkodással könnyű észrevenni a hibát a fenti okoskodásban: az a ki nem mondott feltételezés, hogy két különböző, n-tagú lócsoportnak van közös eleme, n=1-re nem igaz, tehát annak igazolása, hogy az elsőre kiválasztott ló is ugyanolyan színű, hibás. A látszólagos ellentmondás tehát egyszerűen hibás okoskodás eredménye, amely felhívja a figyelmet annak a veszélyére, ha egy-egy általános szabály kimondásakor nem gondolunk a szabály alól kibúvó speciális esetekre.

[szerkesztés] Egy másik ló-paradoxon

Egy gazdának 11 lova van, amikor meghal. A végrendeletében meghagyja, hogy az istállót és a lovak felét a legidősebb fia örökölje, a középső fiú a lovak egynegyedét kapja, a legfiatalabb pedig az egyhatodát. Hogyan osztozzanak a fiúk a lovakon? A végrendeletben eljáró ügyvéd kilovagol a gazdaságba a saját lován, így az övével együtt már 12 ló van az istállóban. A legidősebb fiú megkapja ezek felét, azaz hat lovat, a középső a negyedét, azaz hármat, a legfiatalabb pedig a hatodát, azaz kettőt. Ez összesen 11 ló, így az ügyvéd a végén a saját lován mehet haza. Hol van a trükk?

Az ügyvéd módszere azért működhet, mert a gazda lovainak feléről, negyedéről és hatodáról gondoskodva nem adta át az összes lovát, csak azok 11/12-ét. A 12. ló nélkül tehát csak 10,0833... ló találna gazdára, és „maradna” 0,9166... ló. A 12. ló hozzáadásával a kiadott és a megmaradó részek egészekké válnak, lehetővé téve, hogy minden fiú egész lovakat örököljön, és az ügyvédnek is megmaradjon a sajátja.