פרדוקס המעטפות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פרדוקס המעטפות הוא מעין פרדוקס בתורת ההסתברות, המתרגם תנאי התחלה מעורפלים לבעית-החלטה שבה שתי האלטרנטיבות נראות בלתי סבירות.

בניסוח המקובל של הפרדוקס, נתונות שתי מעטפות. באחת המעטפות ישנו סכום כסף מסוים (X) ובשנייה סכום כפול (2X). משתתף מקבל אחת מן המעטפות, בסיכויים שווים, ונשאל האם ברצונו לעבור ממה שקיבל למעטפה השניה.

המשתתף מוצא במעטפה שלו סכום Y. מנקודת המבט שלו, יש שתי אפשרויות: או שבמעטפות יש Y ו- 2Y (ואז, אם הוא מחליף, הוא מרוויח Y), או שבמעטפות יש Y ו- Y/2 (ואז, אם הוא מחליף, הוא מפסיד Y/2). מכיוון שלכאורה שני המקרים סבירים באותה מידה, עדיף לקחת את הסיכון ולהחליף.

הנימוק הזה נכון לכל Y. כלומר - אפשר היה לבחור את המעטפה הראשונה ולא לפתוח אותה, ולפי אותו שיקול כדאי להחליף מעטפות, בלי קשר לתכולת המעטפה הראשונה. היתכן? הרי אם לא פתחנו את המעטפה, מה מבדיל אותה מן המעטפה השניה? ואם לא פתחנו את המעטפות עדיין, גם את המעטפה השניה כדאי להחליף, ולחזור לראשונה.

חקר התנהגות האנשים כאשר עליהם לקבל החלטה בסיטואציה זו משתייך לענף קבלת ההחלטות.

[עריכה] פתרון הפרדוקס

הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, כל "בחירה" מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר.

מרגע שקיימת התפלגות כזו, גם אם היא אינה ידועה למשתתף, אפשר, עקרונית, לחשב את הסיכוי להרוויח (לעבור מ- Y ל- 2Y) לעומת הסיכוי להפסיד (לעבור מ- Y ל- Y/2). ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השנייה תכיל 2Y או Y/2, ואם מן העובדה ש- Y=a אפשר להסיק ש- X שווה ל-a או ל- a/2 בסיכויים שווים, אז גם הסיכוי א-פריורי של X=a חייב להיות שווה לזה ש- X=a/2.

התפלגות כזו, שבה הסיכויים שווים, אינה קיימת, ולכן, במעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך שבדרך כלל הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח.

לשם המחשה, נניח ש- X נבחר באקראי בקטע מ-0 עד גבול מסוים, a. כמו קודם, במעטפות נמצאים הסכומים X ו- 2X. אם הסכום Y שאנחנו מוצאים במעטפה קטן מ- a, אז X יכול להיות Y או Y/2, ושני המקרים סבירים באותה מידה. במקרה כזה כדאי להחליף. לעומת זאת, אם מצאנו Y גדול מ- a, לא יתכן ש- X=Y (משום ש- X מוגבל לתחום מ-0 עד a), לכן X=Y/2 הוא הסכום שבמעטפה השניה, ואז לא נחליף.

[עריכה] השוואת האלטרנטיבות

אפשר לסמן ב- Y את תכולת המעטפה הראשונה, כפי שעשינו לעיל, וב- Z את תכולת המעטפה השניה. הקשר בין Y ו- Z הדוק למדי: אחד מהם שווה לערך X, והשני שווה ל- 2X. לאחר שהתגלה הערך של Y, אנחנו נדרשים לבחור בין המעטפה הראשונה (זכיה ב- Y, הידוע בשלב זה), לבין המעטפה השנייה (תוספת של Z-Y, כאשר Y ידוע). אם התוחלת של X סופית, החישוב מראה שהתוחלת של Z-Y שווה לאפס וההחלפה מהווה הימור המאוזן לכאן או לכאן. ישנן גרסאות של הפרדוקס (ראו במיוחד פרדוקס סנט-פטרסבורג) שבהן התוחלת של X אינה סופית, ואז הטור הנדרש לחישוב התוחלת של Z-Y אינו מתכנס בהחלט. למרות ש- , אפשר לתכנן את ההתפלגות כך שהתוחלות של Y-Z ושל Z-Y תתבדרנה שתיהן לאינסוף, וכך יראה שכל מעטפה עדיפה על חברתה. השגיאה כאן נעוצה בהסתמכות על התוחלת של המשתנים, כאשר זו אינה מוגדרת.