פונקציה הרמונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה $\ f:U \to \mathbb{R}$ (כאשר $\ U$ היא קבוצה פתוחה ב- $\ \mathbb{R}^n$ ) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית

$\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 ^2}+\cdots \frac{\partial ^2 f}{\partial x_n ^2}=0$

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת הרמונית ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

[עריכה] דוגמאות

פונקציה קבועה היא הרמונית.

כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.

פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי הוא פונקציה הרמונית בשלושה נעלמים. בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית.

הפונקציה $\ f(x,y)=\ln (x^2 +y^2)$ היא פונקציה הרמונית של שני נעלמים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.

אם $\ F:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ היא פונקציה הולומורפית אז ממשואות קושי רימן נובע שהפונקציות $\ u=Re(F) , v=Im(F)$ הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים. להפך, לכל פונקציה הרמונית בשני משתנים $\ u:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ אפשר למצוא פונקציה $\ v:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ כך שהפונקציה $\ u+iv$ היא הולומורפית.

[עריכה] תכונות

פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה). תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.

עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום $\ U$ מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של $\ U$ .

תכונת ערך הביניים היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה $\ x$ שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב $\ x$ . בסימונים, אם $\ u$ פונקציה הרמונית אז $\ u(x)=\frac{1}{vol_{n-1}(\partial B(x,r))}\int _{\partial B(x,r)}u(y)dy$ .

משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל $\ \mathbb{R}^n$ היא קבועה.

[עריכה] מושגים קשורים

הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי $\ \Delta = \frac{\partial ^2}{\partial x_1 ^2}+\frac{\partial ^2}{\partial x_2 ^2}+ \cdots +\frac{\partial ^2}{\partial x_n ^2}$ . פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת $\ \Delta f=0$ .

בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.

בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה $\ f:V \to \mathbb{R}$ (כאשר $\ V$ היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) $f(v)=\frac{1}{|\{ u | v \sim u\}|}\sum _{u\sim v}f(u)$ (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).