פונקציה אלמנטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

פונקציה ממשית (במשתנה אחד) היא פונקציה אלמנטרית אם ניתן לבנות אותה על ידי פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה ממספר פונקציות בסיסיות:

הפונקציה המעריכית (האקספוננט)- $\ e^x$ .
הלוגריתמים - $\ log x$ (כאשר הלוגריתם הוא לפי הבסיס הטבעי).
הפונקציות הטריגונומטריות - sinx , cosx וכד'.
הפונקציות ההפוכות לפונקציות הטריגונומטריות - arcsin x , arctg x וכד'.
פולינומים, והפונקציות ההפוכות לפולינומים.

לדוגמה, הפונקציה $e^{x^2}-3ln^{cos x}(x^3+x^2)$ היא פונקציה אלמנטרית. קיים אלגוריתם רקורסיבי שמחשב את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית כלשהי, באמצעות כללי הגזירה והנגזרות של הפונקציות הבסיסיות. לעומת זאת, פונקציה קדומה של פונקציה אלמנטרית אינה בהכרח אלמנטרית. לדוגמה הפונקציה $\int_{0}^{x} e^{-t^2}\ dt$ מפורסמת בכך שאינה אלמנטרית.

[עריכה] מינימליות

מן הפונקציות ברשימה לעיל אפשר לבנות כל פונקציה מעריכית $\ a^x = e^{\log(a)\cdot x}$ עם $\ a>0$ ; את הפונקציות $\ x^{\alpha} = e^{\alpha \cdot \log(x)}$ , ועוד. בגלל הקשר ההדוק בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציית המעריך, דרך הפונקציות ההיפרבוליות, אפשר לוותר על חלק מן הפונקציות ברשימה, ולקבל אותן מתוך פונקציות אחרות. ליתר דיוק, כאשר דנים בפונקציות אלמנטריות במספרים מרוכבים, ניתן להסתפק רק ב- $\ e^x, lnx$ והפונקציות הקבועות המרוכבות כדי לבנות את כל הפונקציות האלמנטריות.

[עריכה] גזירה אלגברית

ניתן לפתח את מבנה הפונקציות האלמנטריות באמצעות מושג הגזירה האלגברית. גזירה אלגברית היא אופרטור שמחקה את תכונות הנגזרת בפונקציות הממשיות והמרוכבות.
אופטור $\ \partial : R \rightarrow R$ שמקיים שני תנאים:

לכל $\ r, s \in R$ מתקיים $\ \partial (r+s)=\partial(r) + \partial (s)$
לכל $\ r, s \in R$ מתקיים $\ \partial (rs)= \partial (r)s+s\partial(r)$

נתחיל משדה הפונקציות הרציונליות המרוכבים, $\mathbb{C} (t)$ , שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים מעל המספרים המרוכבים. על שדה זה מוגדרת פעולת גזירה טבעית - הנגזרת המרוכבת הרגילה. שדה זה הוא תת שדה של שדה הפונקציות המרוכבות הגזירות. את שדה הפונקציות האלמנטריות ניתן ליצור באמצעות מגדל של הרחבות, באינדוקציה, כך שפונקציה כלשהי היא אלמנטרית אם היא מופיעה בשלב מסוים במגדל . בשלב ה-k נתון השדה $\ F_k$ . נוסיף אלמנטים לשדה שיתפקדו כמו הפעלת אקספוננט או לוגריתם על איבר בשדה הקודם. התוספות נקבעות לפי פעולת אופטור הגזירה עליהן, כלומר כפתרון של משוואה דיפרנציאלית. נשלים מה שנוצר לשדה סגור אלגברית, באמצעות לקיחת החיתוך של כל תתי השדות של שדה הפונקציות הגזירות שהם גם סגורים אלגברית, גם מכילים את כל איברי $\ F_k$ וגם מכילים את כל האלמנטים שהוספנו (האקספוננטים והלוגריתמים). לשדה שמתקבל נקרא $\ F_{k+1}$ .
בכל שלב הוספנו אלמנטים מהצורה:

u הוא אקספוננט של a, איבר של $\ F_k$ אם הוא פתרון של המשוואה הדפרנציאלית: $\ \partial u = u\partial a$ .
u הוא לוגריתם של a, איבר של $\ F_k$ אם הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית: $\ \partial u = \partial a /a$

בכל שלב השדה המתקבל גדול ממש מהשדה הקודם, ועדיין מוכל בשדה הפונקציות המרוכבות הגזירות.

האיחוד העולה של כל השדות $\ F_k$ הוא גם כן שדה, ולכן הוא סגור תחת חיבור, חיסור, כפל וחילוק. בנוסף שדה זה סגור גם תחת הרכבת פונקציות, ומכיל את הפונקציות הבסיסיות שמהן בונים את הפונקציות האלמנטריות (האקספוננט, הלוגריתם והקבועים המרוכבים) ולכן הוא שווה לשדה הפונקציות האלמנטריות.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%95/%D7%A0/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%9E%D7%A0%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA.html

קטגוריה: מתמטיקה

פונקציה אלמנטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] מינימליות

[עריכה] גזירה אלגברית

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות