ערך של משחק

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסגנון המקובל בוויקיפדיה. לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.

[עריכה] הגדרה כללית

בתורת המשחקים, כאשר עוסקים במשחק סכום אפס לשני שחקנים, יש מקום לדבר על רמת הביטחון המקסימלית של כל אחד מהשחקנים. רמת הביטחון המקסימלית של השחקן הלבן (המקסמין) היא סכום הכסף הגדול ביותר שהוא יכול לזכות בו, בלי קשר לתכסיס שיבחר השחקן השחור. רמת הביטחון המקסימלית של השחקן השחור (המינמקס) היא סכום הכסף הקטן ביותר שהוא יכול להפסיד בלי קשר לתכסיס שיבחר השחקן הלבן.

אם נסמן את רמת הביטחון המקסימלית של השחקן הלבן בתור v₁ ואת זו של השחקן השחור בתור v₂, אומרים כי למשחק יש ערך אם ורק אם v₁=v₂. במצב הזה המשחק "יציב", כי כדי להשיג את הטוב ביותר בשביל עצמם, השחקנים "משתפים פעולה" במובן זה שהם בוחרים. לעומת זאת, אם השחקן הלבן מסוגל להבטיח לעצמו פחות מאשר השחקן השחור יכול להבטיח שיפסיד, שני השחקנים נמצאים במצב עימות תמידי.

[עריכה] דוגמה

נתבונן במשחק הבא המוצג כמטריצת תשלומים:

		שחקן ב
		תכסיס א	תכסיס ב	תכסיס ג
שחקן א	תכסיס 1	5	1	2
	תכסיס 2	0	1	3

נחשב את המקסמין של המשחק, כלומר מה הסכום המינימלי ששחקן א' יכול להבטיח לעצמו -

נסמן ב־(min(s,t את התשלום המינימלי האפשרי לתכסיס s (לכל t שהוא)

נסמן ב־(max(s,t את התשלום המקסימלי האפשרי לתכסיס t (לכל s שהוא)

על כן, במשחק זה -

min(1,t)=1 (המספר הקטן ביותר בשורה הראשונה)

min(2,t)=0 (המספר הקטן ביותר בשורה השנייה)

5=(א,max(s (המספר הגדול ביותר בעמודה הראשונה)

1=(ב,max(s (המספר הגדול ביותר בעמודה השנייה)

3=(ג,max(s (המספר הגדול ביותר בעמודה השלישית)

עתה, נחשב את המקסמין של המשחק, כלומר הערך הגבוה ביותר שהשחקן הראשון יכול להבטיח לעצמו (ה־min הגדול ביותר) - 1.

לפי אותו הגיון, המינמקס של המשחק (ה־max הקטן ביותר) הוא - 1.

1=(maxmin(s,t)=minmax(s,t, ולכן הערך של המשחק הוא 1.