עקביות (לוגיקה)
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
- ערך זה עוסק בעקביות בלוגיקה. לערך העוסק בעקביות בתחומים אחרים, ראו עקביות.
עקביות (או- קונסיסטנטיות, קוהרנטיות) הוא מושג בלוגיקה ובמתמטיקה המציין שמערכת מסוימת היא נטולת סתירות. בלוגיקה מתמטית, תורה עקבית היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמה.
בכדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא מודל שמקיים את כל האקסיומות של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח עקביות יחסית - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור גאומטריות שונות (למשל, שתי הגרסאות הלא אוקלידיות של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות לתורת הקבוצות.
עם זאת, ישנן מערכות אקסיומות עקביות שאין להן מודל. בכדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. משפט אי השלמות השני של גדל קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה אריתמטית ואפקטיבית (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.
