סריג (מבנה סדור)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת הקבוצות, סריג הוא יחס סדר חלקי על קבוצה A, בעל התכונה שלכל שני איברים $\ a ,b \in A$ קיים אינפימום וסופרימום.

בצורה הזו מתקבלות שתי פעולות בינאריות על איברי הקבוצה הסדורה:

פעולת המצרף (join) שמחזירה לכל זוג איברים את הסופרימום של שניהם. פעולה זו מסומנת $\ a \vee b$ .
פעולת המפגש (meet) שמחזירה לכל זוג איברים את האינפימום של שניהם. פעולה זו מסומנת $\ a \wedge b$ .

פעולות אלו הן קומוטטיביות ואסוציאטיביות, ולכן ניתן להרחיב אותן לכל קבוצה סופית (ניתן להגדיר מצרף ומפגש של קבוצה סופית כלשהי, ולא רק קבוצה בת שני איברים). בהרבה סריגים לא ניתן להרחיב את הפעולות לקבוצות אינסופיות.

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה חצי סדר עליון, ובאופן דומה- אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה חצי סריג תחתון. אם לכל קבוצה יש אינפימום וסופרימום הסריג נקרא סריג שלם.

[עריכה] דוגמאות

כל יחס סדר מלא הוא סריג כי בו מצרף של שני איברים יהיה הגדול מביניהם, ומפגש של שני איברים יהיה הקטן מביניהם. סריג זה הוא לא בהכרח שלם, לדוגמה הקטע $\ [0,1] \cap \mathbb{Q}$ עם יחס הסדר הרגיל מהווה קבוצה סדורה ביחס סדר מלא, אך לא לכל תת קבוצה בו יש אינפימום ומקסימום.
לכל קבוצה A אוסף תתי הקבוצות שלה, הסדור ביחס ההכלה, הוא סריג ובו מצרף של שתי קבוצות הוא איחודן ומפגש של שתי קבוצות הוא חיתוכן. באוסף זה ניתן להרחיב את פעולת המצרף לקבוצה כלשהי של איברים (על ידי איחוד כל האיברים) וכן גם את המפגש, כלומר זהו סריג שלם.
קבוצת המספרים הטבעיים עם יחס החלוקה הוא סריג כאשר מפגש של שני איברים הוא המחלק המשותף המקסימלי של שניהם, ומצרף של איברים הוא הכופל המשותף המינימלי.
כל אלגברה בוליאנית היא סריג (ביחס לפעולות החיבור והכפל). אלגברה בוליאנית נקראת שלמה אם כסריג היא סריג שלם.