משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים. המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי n אפשר למצוא מספרים שלמים a,b,c,d, כך ש- $\ n = a^2+b^2+c^2+d^2$ . לדוגמה, $\ 107=8^2+5^2+3^2+3^2$ .

[עריכה] משפטים דומים

כבר במאה ה-17 הבחין פייר דה פרמה שכל מספר מהצורה $\ 4^n(8m+7)$ (למשל: 7, 15, 28) לא ניתן להציג כסכום של שלושה ריבועים. קרל פרידריך גאוס הוכיח שאלו המספרים היחידים שלא ניתן להציג באופן זה. לדוגמה, 107 אינו מהצורה האסורה, ואכן $\ 107=9^2+5^2+1^2$ . ההוכחה של משפט זה קשה בהרבה מזו של משפט לגראנז', והיא הייתה חלק מהפיתוח של התורה של תבניות ריבועיות במספרים שלמים, שלה תרם גאוס תרומה מכרעת.

באשר להצגה כסכום של שני ריבועים, פרמה כתב ב- 1640 (במכתב למרסן) שאפשר להציג מספר ראשוני p כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם הוא נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 (גם כאן, העובדה שמספרים מהצורה 4m+3 אינם ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים היא קלה מאוד להוכחה). לא ברור אם פרמה ידע להוכיח טענה זו; ב- 1749 שלח לאונרד אוילר (הפעם, במכתב לגולדבך) הוכחה מסודרת, המבוססת על "שיטת הירידה האינסופית" שפיתח.

תוצאות אלה על הצגה של מספרים כסכום של ריבועים הוכללו בבעיית וארינג, השואלת על המספר הקטן ביותר של חזקות-k שמספיקות להצגת כל מספר טבעי, ובבעיות על 'תבניות אוניברסליות' בתבניות ריבועיות.

[עריכה] הוכחת המשפט של לגראנז'

הצעד הראשון בהוכחה הוא הזהות המפתיעה
$\ (a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+u^2) = \begin{matrix} (ax-by-cz-du)^2 \\ +(ay+bx+cu-dz)^2 \\ + (az-bu+cx+dy)^2\\ + (au+bz-cy+dx)^2\end{matrix}$ שדומות לה יש רק עבור שניים, ארבעה או שמונה נעלמים (משפט הורוויץ). הזהות מראה שאם אפשר להציג שני מספרים כסכום של ארבעה ריבועים, אפשר להציג גם את המכפלה שלהם. אם כך, מספיק להציג את המספרים הראשוניים. ההוכחה לטענה זו מבוססת על העובדה שלכל מספר ראשוני p קיימים $\ a,b$ כך ש- $\ a^2+b^2+1$ מתחלק ב- p, ואז על שיטת הירידה של לגראנז', המאפשרת להמיר הצגה של $\ kp$ (עם $\ 1<k<p$ ) כסכום של ארבעה ריבועים בהצגה דומה של $\ k'p$ עבור $\ k'<k$ . לאחר מספר סופי של צעדים מגיעים להצגה של p עצמו.

הצגות כסכום של ארבעה ריבועים קשורות קשר הדוק לאלגברת הקווטרניונים, ובעיקר לתת-החוג של הקווטרניונים השלמים (חוג Hurwitz של השלמים האלגבריים, וחוג Lipschitz השווה ל- $\ \Z[i,j]$ ).