משוואות דיפרנציאליות רגילות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת שמופיעה בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר $\ n$ ניתנת להצגה כמערכת של $\ n$ משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

תוכן עניינים

1 משווואות מסדר ראשון
2 משוואות מסדר שני
- 2.1 משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני
3 קישורים חיצוניים

[עריכה] משווואות מסדר ראשון

באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת על ידי הפונקציה $\ F\left(y,y',x\right)=0$ . אנו מחפשים פונקציה $\ y(x)$ כך שכאשר נציב אותה בפונקציה $\ F$ נקבל 0.

לדוגמה, אם $\ F(y,y',x)=y'-2y$ המשוואה המתוארת על ידי הפונקציה היא $\ y'-2y=0$ , והפתרון הכללי של המשוואה הוא $\ Ae^{2x}$ , שכן $\ (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}$ , ולכן אם נציב נקבל $\ 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0$ , כמבוקש.

קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות. לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש. עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.

[עריכה] משוואות לינאריות מסדר ראשון

משוואה לינארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה $\ y'+h(x)y+g(x)=0$ . כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל $\ \ln(y)$ ). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של $\ x$ ופונקציה נוספת של $\ x$ היא "גורם חופשי" של המשוואה.

משוואות לינאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן ישירה.

אם $\ g(x)\equiv 0$ , כלומר המשוואה היא מהצורה $\ y'+h(x)y=0$ , המשוואה נקראת "משוואה לינארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.

[עריכה] משוואות ספרביליות (ניתנות להפרדה)

משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה $\ y'+M(x)N(y)=0$ או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה $\ x$ והמשתנה $\ y$ . דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא $\ M(x)dx=N(y)dy$ , כלומר, "מפרקים" את הנגזרת $\ y'=\frac{dy}{dx}$ למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה $\ M(x)dx=N(y)dy$ וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: $\ \int_{x_0}^x M(x)dx=\int_{y_0}^y N(y)dy$ , כאשר $\ y_0=y(x_0)$ הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

[עריכה] משוואות מדוייקות וגורמי אינטגרציה

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה $\ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ כך שמתקיים $\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ .

כדי לפתור משוואה מדוייקת, מחפשים פונקציה $\ \psi(x,y)$ אשר תקיים $\ \frac{\partial \psi}{\partial x}=M,\frac{\partial \psi}{\partial y}=N$ . אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי $\ d \psi(x,y)=0$ , או $\ \psi (x,y)=\mbox{const}$ .

אם משוואה איננה מדוייקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדוייקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדוייקת נקראת גורם אינטגרציה.

[עריכה] משוואות הומוגניות

משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה $\ y'+f(x,y)=0$ כאשר מתקיים $\ f(x,y)=f(tx,ty)$ לכל $\ t\in\mathbb{R}$ . ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה $\ z=\frac{y}{x}$ .

[עריכה] משוואת ברנולי

משוואה דיפרנציאלית מהצורה $\ y'+p(x)y=q(x)y^n$ נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יעקב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה $\ z=y^{1-n}$ , שממנה מקבלים את המשוואה הלינארית $\ z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$ .

[עריכה] משוואות מסדר שני

באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה $\ F\left(y,y',y'',x\right)=0$ . משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות לינאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.

[עריכה] משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני

משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה $\ y''+p(x)y'+q(x)y=0$ . סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גם הוא פתרון, ועל כן הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, לכן ניתן למצוא בסיס למרחב זה, כלומר שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה כך שכל פתרון של המשוואה יכול להיכתב כצירוף לינארי שלהם.

תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת ורונסקיאן.

קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית לינארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעתים).

כאשר הפונקציות $\ p(x),q(x)$ הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה $\ y''+ay'+by$ , קיימים פתרונות למשוואה מהצורה $\ e^{\lambda x}$ , כאשר $\ \lambda$ הוא שורש של הפולינום $\ t^2+at+b$ (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם יש שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, $\ xe^{\lambda x}$ הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם $\ \lambda+i\mu$ הוא שורש, מקבלים את הפתרונות $\ e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)$ .